4、量子计算中的西蒙算法与傅里叶变换解析

量子计算中的西蒙算法与傅里叶变换解析

西蒙算法详解

西蒙算法是量子计算中的一个重要算法，旨在解决特定的函数映射问题。在算法开始时，第二个 $n$ 量子比特寄存器初始状态全为零。经过一次查询操作后，状态变为 $\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{i\in{0,1}^n} |i\rangle|x_i\rangle$。

接下来，对第二个 $n$ 量子比特寄存器进行计算基测量。虽然此测量并非必需，但能简化分析过程。测量结果为某个 $x_i$ 值，同时第一个寄存器会坍缩到具有该 $x_i$ 值的两个索引的叠加态：$\frac{1}{\sqrt{2}}(|i\rangle + |i \oplus s\rangle)|x_i\rangle$。

随后，忽略第二个寄存器，对第一个 $n$ 量子比特应用哈达玛变换。利用相关公式和性质，得到的状态可表示为：
$\frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}} \left( \sum_{j\in{0,1}^n} (-1)^{i\cdot j}|j\rangle + \sum_{j\in{0,1}^n} (-1)^{(i\oplus s)\cdot j}|j\rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2^{n+1}}} \left( \sum_{j\in{0,1}^n} (-1)^{i\cdot j} (1 + (-1)^{s\cdot j})|j\rangle \right)$

需要注意的是，$|j\rangle$ 具有非零振幅的充要条件是 $s \cdot j = 0 \mod 2$。对该状态进行测量，会得到集合 ${j | s\cdot j = 0 \mod 2}$ 中的一个均匀随