29、工程等几何分析相关技术详解

工程等几何分析相关技术详解

1. 边界条件处理

在工程分析中，边界条件的处理至关重要。对于狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition），可以通过矩阵修改的方式使方阵变为非奇异矩阵。相关操作存储在 enforce essential BC.m 函数中，而相关的罚函数法存储在 enforce MPC equations.m 函数里。若需要在后续处理中恢复反应数据 $r_j$，则必须保存 $S$ 和 $c$ 的原始第 $j$ 行。

对于每个本质边界条件（EBC），都要重复上述一系列步骤。矩阵分区方法适用于任何规模的问题，但更常用于小型问题；而恒等变换（或罚函数法）则用于处理包含数千或数百万个方程的大型问题。

1.1 罚函数法处理 EBC

罚函数法可以在满足一定有效数字的情况下满足 EBC，同时保持原始矩阵的大小和方程顺序不变（不过会改变稀疏存储方式的列高度）。设 $d_j$ 是要赋予 EBC 的自由度，例如 $d_j = b$。为避免矩阵分区或零行零列操作，可采用罚函数法。该方法仅改变控制矩阵系统中的两项：
- 结果源向量的第 $j$ 行变为：$c_j = R bS_{j,j}$
- 其对角项变为：$S_{j,j} = R S_{j,j}$

其中，$R$ 是一个非常大的数。当罚项趋近于无穷大（$R \to \infty$）时，数值解在一定有效数字范围内趋近于 $d_j = b$。$R$ 的实际取值取决于硬件字长，有人使用高达 $R = 10^{23}$ 的值，而作者采用方阵最大对角元素的缩放值，如 $R = 10^5 \times