6、概率分布与随机变量的深入解析

概率分布与随机变量的深入解析

1. 连续随机变量

连续随机变量在概率理论中占据重要地位。以一个例子来说，已知(\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)dx = 1)，对于(\int_{0}^{\infty} \alpha^2e^{-\frac{\alpha}{5} x}dx = 1)，可解得(\alpha = \frac{1}{5})。该随机变量的累积分布函数（CDF）为(F_X(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{25}e^{-\frac{1}{25} x}dx = 1 - e^{-\frac{1}{25} x})。

1.1 期望与方差

连续随机变量的期望和方差的定义与离散随机变量类似，只是将求和运算符替换为积分运算符。
- 期望 ：连续随机变量(X)的期望(E[X])由公式(E[X] = \int_{x} xf_X(x)dx)计算。例如，对于均匀分布，其概率密度函数（PDF）为(f_X(x)=\frac{1}{10})（(0\leq x\leq10)），则期望(E[X] = \int_{0}^{10} \frac{x}{10}dx = 5)。再看另一个例子，若连续随机变量的PDF为(f_X(x) = \frac{1}{25}e^{-\frac{1}{25} x})（(x\geq0)），其期望(E[X] = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{25}e^{-\frac{1}{25} x}dx = \left[-xe^{-\frac{x}{25}} - 25e^{-\frac{x}{25}}\right] 0^{\infty} = 25)。
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