9、随机变量、概率分布与重要统计概念解析

随机变量、概率分布与重要统计概念解析

1. 贝塔分布

贝塔分布由两个参数α和β定义，这两个参数决定了分布的形状和偏度。其概率密度函数（PDF）的精确公式为：
[f (x) = \frac{x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}\varGamma(\alpha + \beta)}{\varGamma(\alpha)\varGamma(\beta)}, x > 0, \alpha > 0, \beta > 0]
例如，当参数值分别为4和6，以及6和4时，贝塔分布的形状会有所不同，偏度也会根据α和β的相对大小而改变。

2. 两个随机变量的依赖性：协方差和相关性

在金融领域，我们常常需要关注两个或多个变量之间的关系。例如，在投资中，投资A的回报上升时，投资B的回报是否也会上升；在资本预算中，一个项目的价值下降时，公司投资组合中其他项目的价值会如何变化。

2.1 协方差

协方差（Cov）用于衡量两个随机变量X和Y相对于各自均值的同时偏差。数学表达式为：
[Cov(\tilde{X}, \tilde{Y}) = E[(\tilde{X} - \mu_X)(\tilde{Y} - \mu_Y)]]
其中E表示“期望”或“平均”。如果协方差为0，则两个变量相互独立。

2.2 相关系数

相关系数（ρ）是协方差的标准化形式，公式为：
[\rho = Corr(\tilde{X}, \tilde{Y}) = \frac{Cov(\tilde{X}, \tilde{Y})}{\sigma_X\sigma_Y}]