线性方程组(三)- 向量方程

本文介绍了向量的定义及其在R2和Rn中的表示,阐述了向量加法、标量乘法的几何意义,并通过实例展示了如何解向量方程。还探讨了Span的概念及其在几何上的解释,包括Span{v}和Span{u,v}所张成的空间。" 113993940,10544391,烹饪原料知识与保藏方法,"['食材知识', '食品保藏', '营养学', '烹饪技巧', '食品安全']

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

小结

  1. 向量的定义
  2. 向量方程的定义和求解
  3. Span{ v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{ v}Span{ u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{ u,v}的几何解释

R2\mathbb{R}^{2}R2中的向量

仅含一列的矩阵称为&列向量,或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为:w=[w1w2]\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}w=[w1w2],其中w1w_1w1w2w_2w2是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为R2\mathbb{R}^{2}R2R\mathbb{R}R表示向量中的元素是实数,而指数2表示每个向量包含两个元素。
R2\mathbb{R}^{2}R2中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即R2\mathbb{R}^{2}R2中的向量是实数的有序对。
给定实数cccR2\mathbb{R}^{2}R2中两个向量u\boldsymbol{u}uv\boldsymbol{v}v,它们的和u+v\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}u+v是把u\boldsymbol{u}uv\boldsymbol{v}v对应元素相加所得的向量。u\boldsymbol{u}uccc标量乘法(或数乘)是把u\boldsymbol{u}u的每个元素乘以ccc,所得向量记为cuc\boldsymbol{u}cucuc\boldsymbol{u}cu中的数ccc称为标量(或)。

给定u=[1−2]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}u=[12]u=[2−5]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}u=[25],求4u−3v4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}4u3v
解: 4u−3v\quad4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}4u3v
=4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)]+[−3∗2−3∗(−5)]=[4−8]+[−615]=[4+(−6)−8+15]=[−27]\qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}=4u+(3)v=[414(2)]+[323(5)]=[48]+[615]=[4+(6)8+15]=[27]

R2\mathbb{R}^{2}R2的几何表示

考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定,所以可把几何点(a,b)(a, b)(a,b)与列向量[ab]\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right][ab]等同。因此我们可把R2\mathbb{R}^{2}R2看作平面上所有点的集合。
向量[3−1]\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right][31]的几何表示是一条由原点(0,0)(0, 0)(0,0)指向点(3,−1)(3, -1)(3,1)的有向线段。

向量加法的平行四边形法则
R2\mathbb{R}^{2}R2中向量u\boldsymbol{u}u和向量v\boldsymbol{v}v用平面上的点表示,则u+v\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}u+v对应于以u\boldsymbol{u}u0\boldsymbol{0}0v\boldsymbol{v}v为顶点的平行四边形的第4个顶点。
在这里插入图片描述

Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的向量

R3\mathbb{R}^{3}R3中向量是3×13 \times 13×1列矩阵,有3个元素。它们表示三维空间中的点,或起点为原点的箭头。

nnn是正整数,则Rn\mathbb{R}^{n}Rn表示所有nnn个实数数列(或有序nnn元组)的集合,通常写成n×1n \times 1n×1列矩阵的形式,u=[u1u2⋮un]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}u=u1u2

评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值