线性方程组（三）- 向量方程

小结

1. 向量的定义
2. 向量方程的定义和求解
3. Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{v}与Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{u,v}的几何解释

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${\mathbb{R}}^2$中的向量

仅含一列的矩阵称为&列向量，或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为：$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]$，其中$w_1$和$w_2$是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为${\mathbb{R}}^2$，$\mathbb{R}$表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
${\mathbb{R}}^2$中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即${\mathbb{R}}^2$中的向量是实数的有序对。
给定实数$c$和${\mathbb{R}}^2$中两个向量$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$，它们的和$\mathbf{u}+\mathbf{v}$是把$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$对应元素相加所得的向量。$\mathbf{u}$和$c$的标量乘法（或数乘）是把$\mathbf{u}$的每个元素乘以$c$，所得向量记为$c\mathbf{u}$。$c\mathbf{u}$中的数$c$称为标量（或数）。

给定$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$和$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right]$，求$4\mathbf{u}-3\mathbf{v}$
解： $4\mathbf{u}-3\mathbf{v}$
$$\begin{gathered} =4\mathbf{u}+(-3)\mathbf{v} \\ =\left[\begin{array}{c}4\ast 1\\ 4\ast (-2)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-3\ast 2\\ -3\ast (-5)\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}4\\ -8\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-6\\ 15\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}4+(-6)\\ -8+15\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}-2\\ 7\end{array}\right] \end{gathered}$$

${\mathbb{R}}^2$的几何表示

考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点$(a,b)$与列向量$\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$等同。因此我们可把${\mathbb{R}}^2$看作平面上所有点的集合。
向量$\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$的几何表示是一条由原点$(0,0)$指向点$(3,-1)$的有向线段。

向量加法的平行四边形法则
若${\mathbb{R}}^2$中向量$\mathbf{u}$和向量$\mathbf{v}$用平面上的点表示，则$\mathbf{u}+\mathbf{v}$对应于以$\mathbf{u}$，$0$和$\mathbf{v}$为顶点的平行四边形的第4个顶点。

${\mathbb{R}}^n$中的向量

${\mathbb{R}}^3$中向量是$3\times 1$列矩阵，有3个元素。它们表示三维空间中的点，或起点为原点的箭头。

若$n$是正整数，则${\mathbb{R}}^n$表示所有$n$个实数数列（或有序$n$元组）的集合，通常写成$n\times 1$列矩阵的形式，$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right]$。
所有元素都是零的向量称为零向量，用$0$表示。

${\mathbb{R}}^n$中向量相等以及向量加法与标量乘法类似于${\mathbb{R}}^2$中的定义。
${\mathbb{R}}^n$中向量的代数性质
对${\mathbb{R}}^n$中一切向量$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$以及标量$c$和$d$:
$$\begin{gathered} \mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v} \\ (\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u} \\ \mathbf{u}+0=0+\mathbf{u}=\mathbf{u}c(d\mathbf{u})=cd\mathbf{u} \\ \mathbf{u}+(-\mathbf{u})=-\mathbf{u}+\mathbf{u}=01\mathbf{u}=\mathbf{u} \end{gathered}$$

线性组合

给定${\mathbb{R}}^n$中向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$和标量$c_1,c_2,\cdots ,v_p$，向量$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$称为向量${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$以$c_1,c_2,\cdots ,v_p$为权的线性组合。形如$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的方程称为向量方程。

设${\mathbf{a}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right]$，${\mathbf{a}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}7\\ 4\\ -3\end{array}\right]$，确定$\mathbf{b}$能否写成${\mathbf{a}}_1$和${\mathbf{a}}_2$的线性组合，也就是说，确定是否存在权$x_1$和$x_2$使$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2=\mathbf{b}$。
解：$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2=x_1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -5\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1+2x_2\\ -2x_1+5x_2\\ -5x_1+6x_2\end{array}\right]$
向量相等当且仅当它们的对应元素相等。即$x_1$和$x_2$满足$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2=\mathbf{b}$当且仅当$x_1$和$x_2$满足方程组$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=7\\ -2x_1+5x_2=4\\ -5x_1+6x_2=-3\end{array}$。
用行化简算法将方程组的增广矩阵化简，以此解方程组：
$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ -2& 5& 4\\ -5& 6& -3\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 0& 9& 18\\ 0& 16& 32\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 0& 1& 2\\ 0& 16& 32\end{array}\right]$
～$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
由阶梯形矩阵最右列不是主元列，可知其有解。解为$x_1=3,x_2=2$。
因此$\mathbf{b}$是${\mathbf{a}}_1$与${\mathbf{a}}_2$的线性组合，权为$x_1=3,x_2=2$。

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵。$\mathbf{A}$的各列是${\mathbb{R}}^m$中的向量，用${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$表示，则A=$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]$。

注意：求解过程中，增广矩阵$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 7\\ -2& 5& 4\\ -5& 6& -3\end{array}\right]$的3列分别对应于${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\mathbf{b}$。即增广矩阵可直接写为:$\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\mathbf{b}\end{array}\right]$。

向量方程$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$和增广矩阵为$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}& \mathbf{b}\end{array}\right]$的线性方程组有相同的解。特别地，$\mathbf{b}$可表示为${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$的线性组合当且仅当线性方程组有解。

Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{v}与Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{u,v}的几何解释

若${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$是${\mathbb{R}}^n$中的向量，则${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的所有线性组合所成的集合用记号Span{v1,v2,⋯ ,vp}\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}Span{v1​,v2​,⋯,vp​}表示，称为由${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$所生成（或张成）的${\mathbb{R}}^n$的子集。也就是说，${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$是所有形如$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的向量的集合，其中$c_1,c_2,\cdots ,c_p$为标量。

要判断向量$\mathbf{b}$是否属于Span{v1,v2,⋯ ,vp}\boldsymbol{Span\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}}Span{v1​,v2​,⋯,vp​}，就是判断向量方程$x_1{\mathbf{v}}_1+x_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +x_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=\mathbf{b}$是否有解，或等价地，判断增广矩阵为$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}& \mathbf{b}\end{array}\right]$的线性方程组是否有解。

设$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的向量，那么Span{v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{v}就是$\mathbf{v}$的所有标量倍数的集合，也就是${\mathbb{R}}^3$中通过$\mathbf{v}$和$0$的直线上所有点的集合。

若$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^3$中的非零向量，$\mathbf{v}$不是$\mathbf{u}$的倍数，则Span{u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{u,v}是${\mathbb{R}}^3$中包含$\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$和$0$的平面。