小结
- 向量的定义
- 向量方程的定义和求解
- Span{ v}\boldsymbol{Span\{v\}}Span{ v}与Span{ u,v}\boldsymbol{Span\{u,v\}}Span{ u,v}的几何解释
R2\mathbb{R}^{2}R2中的向量
仅含一列的矩阵称为&列向量,或简称向量。向量表示一组有序数。
包含两个元素的向量表示为:w=[w1w2]\boldsymbol{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}w=[w1w2],其中w1w_1w1和w2w_2w2是任意实数。
所有两个元素的向量的集记为R2\mathbb{R}^{2}R2,R\mathbb{R}R表示向量中的元素是实数,而指数2表示每个向量包含两个元素。
R2\mathbb{R}^{2}R2中两个向量相等当且仅当其对应元素相等。即R2\mathbb{R}^{2}R2中的向量是实数的有序对。
给定实数ccc和R2\mathbb{R}^{2}R2中两个向量u\boldsymbol{u}u和v\boldsymbol{v}v,它们的和u+v\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}u+v是把u\boldsymbol{u}u和v\boldsymbol{v}v对应元素相加所得的向量。u\boldsymbol{u}u和ccc的标量乘法(或数乘)是把u\boldsymbol{u}u的每个元素乘以ccc,所得向量记为cuc\boldsymbol{u}cu。cuc\boldsymbol{u}cu中的数ccc称为标量(或数)。
给定u=[1−2]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ \end{bmatrix}u=[1−2]和u=[2−5]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 2 \\ -5 \\ \end{bmatrix}u=[2−5],求4u−3v4\boldsymbol{u}-3\boldsymbol{v}4u−3v
解: 4u−3v\quad4\boldsymbol{u} - 3\boldsymbol{v}4u−3v
=4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)]+[−3∗2−3∗(−5)]=[4−8]+[−615]=[4+(−6)−8+15]=[−27]\qquad= 4\boldsymbol{u} + (-3)\boldsymbol{v} \\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 * 1 \\ 4 * (-2) \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -3 * 2 \\ -3 * (-5) \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 \\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} 4 + (-6) \\ -8 + 15 \\ \end{bmatrix}\\ \qquad = \begin{bmatrix} -2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}=4u+(−3)v=[4∗14∗(−2)]+[−3∗2−3∗(−5)]=[4−8]+[−615]=[4+(−6)−8+15]=[−27]
R2\mathbb{R}^{2}R2的几何表示
考虑平面上的直角坐标系。因为平面上每个点由实数的有序对确定,所以可把几何点(a,b)(a, b)(a,b)与列向量[ab]\left[\begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix}\right][ab]等同。因此我们可把R2\mathbb{R}^{2}R2看作平面上所有点的集合。
向量[3−1]\left[\begin{matrix} 3 \\ -1 \\ \end{matrix}\right][3−1]的几何表示是一条由原点(0,0)(0, 0)(0,0)指向点(3,−1)(3, -1)(3,−1)的有向线段。
向量加法的平行四边形法则
若R2\mathbb{R}^{2}R2中向量u\boldsymbol{u}u和向量v\boldsymbol{v}v用平面上的点表示,则u+v\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}u+v对应于以u\boldsymbol{u}u,0\boldsymbol{0}0和v\boldsymbol{v}v为顶点的平行四边形的第4个顶点。
Rn\mathbb{R}^{n}Rn中的向量
R3\mathbb{R}^{3}R3中向量是3×13 \times 13×1列矩阵,有3个元素。它们表示三维空间中的点,或起点为原点的箭头。
若nnn是正整数,则Rn\mathbb{R}^{n}Rn表示所有nnn个实数数列(或有序nnn元组)的集合,通常写成n×1n \times 1n×1列矩阵的形式,u=[u1u2⋮un]\boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}u=⎣⎢⎢⎢⎡u1u2