矩阵代数（七）- 维数与秩

小结

1. 坐标系
2. 子空间的维数
3. 秩与可逆矩阵定理

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坐标系

选择子空间$\mathbf{H}$的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是，$\mathbf{H}$中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。

假设β={b1,⋯ ,bp}\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}\}β={b1​,⋯,bp​}是子空间$\mathbf{H}$的一组基，对$\mathbf{H}$中的每一个向量$\mathbf{x}$，相对于基$\mathbf{\beta }$的坐标是使$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{b}}_{\mathbf{p}}$成立的权$c_1,\cdots ,c_p$，且${\mathbb{R}}^p$中的向量$[\mathbf{x}{]}_{\mathbf{\beta }}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ v_p\end{array}\right]$称为$\mathbf{x}$（相对于$\mathbf{\beta }$）的坐标向量，或$\mathbf{x}$的$\mathbf{\beta }$-坐标向量。

设v1=[362],v2=[−101],x=[3127],β={v1,v2}\boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}=\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}v1​=⎣⎡​362​⎦⎤​,v2​=⎣⎡​−101​⎦⎤​,x=⎣⎡​3127​⎦⎤​,β={v1​,v2​}。因${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$线性无关，故$\mathbf{\beta }$是H=Span{v1,v2}\boldsymbol{H}=Span\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}H=Span{v1​,v2​}的基。判断$\mathbf{x}$是否在$\mathbf{H}$中，如果是，求$\mathbf{x}$相对于$\mathbf{\beta }$的坐标向量。
解：如果$\mathbf{x}$在$\mathbf{H}$中，则下面的向量方程是相容的：
${\mathbf{c}}_1\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]+{\mathbf{c}}_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$
如果数$c_1,c_2$存在，则它们是$\mathbf{x}$的$\mathbf{\beta }$-坐标。由行变换得：
$\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 3\\ 6& 0& 12\\ 2& 1& 7\end{array}\right]$~$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$
于是$c_1=2,c_2=3,[\mathbf{x}{]}_{\mathbf{\beta }}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$。

注意到虽然$\mathbf{H}$中的点也在${\mathbb{R}}^3$中，但它们完全由属于${\mathbb{R}}^2$的坐标向量确定。映射$\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathbf{\beta }}$是使$\mathbf{H}$和${\mathbb{R}}^2$之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且$\mathbf{H}$与${\mathbb{R}}^2$同构。
一般地，如果β={b1,⋯ ,bp}\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_p}\}β={b1​,⋯,bp​}是$\mathbf{H}$的基，则映射$\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathbf{\beta }}$是使$\mathbf{H}$和${\mathbb{R}}^p$的形态一样的一一映射（尽管$\mathbf{H}$中的向量可能有多余$p$个元素）。

子空间的维数

非零子空间$\mathbf{H}$的维数（用$dim\mathbf{H}$）是$\mathbf{H}$的任意一个基的向量个数。零子空间{0}\{ \boldsymbol{0} \}{0}的维数定义为零。
${\mathbb{R}}^n$空间维数为$n$，${\mathbb{R}}^n$的每个基由$n$个向量组合。${\mathbb{R}}^3$中一个经过$0$的平面是二维的，一条经过$0$的直线是一维的。

矩阵$\mathbf{A}$的秩（记为$rank\mathbf{A}$）是$\mathbf{A}$的列空间的维数。

确定矩阵的秩：
$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -4& 8\\ 4& 7& -4& -3& 9\\ 6& 9& -5& 2& 4\\ 0& -9& 6& 5& -6\end{array}\right]$
解：行化简$\mathbf{A}$称阶梯形：
$\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -4& 8\\ 4& 7& -4& -3& 9\\ 6& 9& -5& 2& 4\\ 0& -9& 6& 5& -6\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{ccccc}2& 5& -3& -4& 8\\ 0& -3& 2& 5& -7\\ 0& 0& 0& 4& -6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$
矩阵$\mathbf{A}$有3个主元列，因此$rank\mathbf{A}=3$

定理 14（秩定理）
如果一矩阵$\mathbf{A}$有$n$列，则$rank\mathbf{A}+dimNul\mathbf{A}=n$

定理 15（基定理）
设$\mathbf{H}$是${\mathbb{R}}^n$的$p$维子空间，$\mathbf{H}$中的任何恰好由$p$个元素组成的线性无关集构成$\mathbf{H}$的一个基。并且，$\mathbf{H}$中任何生成$\mathbf{H}$的$p$个向量集也构成$\mathbf{H}$的一个基。

秩与可逆矩阵定理

定理（可逆矩阵定理（续））
设$\mathbf{A}$是一$n\times n$矩阵，则下面的每个命题与$\mathbf{A}$是可逆矩阵的命题等价：
m.  A的列向量构成Rn的一个基n.  Col  A=Rno.  dim  Col  A=np.  rank  A=nq.  Nul  A={0}r.  dim  Nul  A=0\begin{aligned} & m. \;\boldsymbol{A}的列向量构成\mathbb{R}^{n}的一个基 \\ & n.\;Col \;\boldsymbol{A}=\mathbb{R}^{n} & &o.\;dim \;Col\;\boldsymbol{A}=n \\ & p.\;rank \;\boldsymbol{A}=n && q.\;Nul\;\boldsymbol{A}=\{\boldsymbol{0}\} \\ &r.\;dim \;Nul \;\boldsymbol{A} = 0\end{aligned}​m.A的列向量构成Rn的一个基n.ColA=Rnp.rankA=nr.dimNulA=0​​o.dimColA=nq.NulA={0}​