向量方程-优快云博客

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线性代数中的线性方程组

1.3 向量方程

线性方程组的重要性质都可用向量概念与符号来描述。

$\mathbb{R}^2$ 中的向量

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量.包含两个元素的向量如下所示.
$u=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ \end{bmatrix}，v=\begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \\ \end{bmatrix}，w=\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \end{bmatrix}$
其中 $w_1$ 和 $w_2$ 是任意实数.所有两个元素的向量的集记为 $\mathbb{R}^2$ ， $\mathbb{R}$ 表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素.
$\mathbb{R}^2$ 中两个向量相等当且仅当其对应元素相等.因此， $\begin{bmatrix} 4\\ 7 \\ \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} 7\\ 4 \\ \end{bmatrix}$ 是不相等的，因为 $\mathbb{R}^2$ 中的向量是实数的有序对.
给定 $\mathbb{R}^2$ 中两个向量 $u$ 和 $v$ ，它们的和 $u + v$ 是把 $u$ 和 $v$ 对应元素相加所得的向量.例如，
$\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2\\ -2+5 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 3 \\ \end{bmatrix}$
给定向量 $u$ 和实数 $c$ ， $u$ 与 $c$ 的标量乘法（或数乘）是把 $u$ 的每个元素乘以 $c$ ，所得向量记为 $c u$ .例如：
若 $u=\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix},c=5,$ 则 $cu=5\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 15\\ -5 \\ \end{bmatrix}$ $c u$ 中的数 $c$ 称为标量（或数）.
向量加法与标量乘法也可以组合起来，如下例所示.

例1 给定 $u=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ \end{bmatrix}$ 和 $v=\begin{bmatrix} 2\\ -5 \\ \end{bmatrix}$ ，求 $4 u$ ， $(- 3) v$ 以及 $4 u + (- 3) v$
$4u=\begin{bmatrix} 4\\ -8 \\ \end{bmatrix}，(-3)v=\begin{bmatrix} -6\\ 15 \\ \end{bmatrix},4u+(-3)v=\begin{bmatrix} 4\\ -8 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6\\ 15 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2\\ 7 \\ \end{bmatrix}$
有时为了方便，将向量 $\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}$ 写成 $(3, - 1)$ 的形式.这时，用圆括弧表示向量，并在两个元素之间加上逗号，以便区别向量 $(3, - 1)$ 与 $1\times 2$ 行矩阵 $[3\quad -1]$ ，后者使用方括号且两个元素之间无逗号.于是 $\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix} \neq [3\quad -1]$ 因为这两个矩阵的维数不同，尽管它们有相同的元素.

$\mathbb{R}^2$ 的几何表示

考虑平面上的直角坐标系.因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把几何点 $(a, b)$ 与列向量 $\begin{bmatrix} a\\ b \\ \end{bmatrix}$ 等同.因此可以把 $\mathbb{R}^2$ 看作平面上所有点的集合.
向量 $\begin{bmatrix} 3\\ -1 \\ \end{bmatrix}$ 的几何表示是一条由原点 $(0, 0)$ 指向点 $(3, - 1)$ 的有向线段.

向量加法的平行四边形法则
若 $\mathbb{R}^2$ 中向量 $u$ 和 $v$ 用平面上的点表示，则 $u + v$ 对应于以 $u, 0$ 和 $v$ 为三个顶点的平行四边形的第4个顶点.

$\mathbb{R}^3$ 中的向量

$\mathbb{R}^3$ 中的向量是 $3\times 1$ 列矩阵，有3个元素.它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头.

$\mathbb{R}^n$ 中的向量

若 $n$ 是正整数，则 $\mathbb{R}^n$ 表示所有 $n$ 个实数数列（或有序 $n$ 元组）的集合，通常写成 $n\times 1$ 列矩阵的形式，如：
$u=\begin{bmatrix} u_1\\ u_2 \\ \vdots\\ u_n \end{bmatrix}$
所有元素都是零的向量称为零向量，用0表示（0中元素的个数可由上下文确定）.
$\mathbb{R}^n$ 中向量相等以及向量加法与标量乘法运算类似于 $\mathbb{R}^2$ 中的定义.向量运算有下列性质，它们可直接由实数的相应性质证明.

$\mathbb{R}^n$ 中向量的代数性质
对 $\mathbb{R}^n$ 中一切向量 $u, v, w$ 以及标量 $c$ 和 $d$ ：
(Ⅰ) $u + v = v + u$
(Ⅱ) $(u + v) + w = u + (v + w)$
(Ⅲ) $u + 0 = 0 + u = u$
(Ⅳ) $u + (- u) = - u + u = 0$
(Ⅴ) $c (u + v) = c u + c v$
(Ⅵ) $(c + d) u = c u + d u$
(Ⅶ) $c (d u) = (c d) u$
(Ⅷ) $1 u = u$

线性组合

给定 $\mathbb{R}^n$ 中的向量 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 和标量 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ ，向量：
$y=c_1v_1+\cdots +c_pv_p$
称为向量 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 以 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 为权的线性组合.线性组合中的权可为任意实数，包括零.

例2 设 $a_1=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ -5 \\ \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 2\\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 7\\ 4 \\ -3 \\ \end{bmatrix}$ ，确定 $b$ 能否写成 $a_1$ 和 $a_2$ 的线性组合，也就是说，确定是否存在权 $x_1$ 和 $x_2$ 使
$x_1a_1+x_2a_2=b \tag{1}$
若向量方程（1）有解，求它的解.
根据向量加法和标量乘法的定义有以下向量方程：
$x_1\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}$
写成
$\begin{bmatrix} x_1+2x_2 \\ -2x_1+5x_2 \\ -5x_1+6x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix} \tag{2}$
（2）式左右两边的向量相等当且仅当它们的对应元素相等.即 $x_1$ 和 $x_2$ 满足向量方程（1）当且仅当 $x_1$ 和 $x_2$ 满足方程组
$\left \{ \begin{array}{c} x_1+2x_2=7 \\ \tag{3} -2x_1+5x_2=4 \\ -5x_1+6x_2=-3 \end{array} \right.$
可以用行化简算法将上述线性方程组的增广矩阵化简：
$\begin{bmatrix} 1&2&7 \\ -2&5&4\\ -5&6&-3 \end{bmatrix} \backsim \begin{bmatrix} 1&2&7 \\ 0&9&18\\ 0&16&32 \end{bmatrix} \backsim \begin{bmatrix} 1&0&3 \\ 0&1&2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}$
（3）的解是 $x_1=3,x_2=2$ ，因此 $b$ 是 $a_1$ 与 $a_2$ 的线性组合，权为 $x_1=3$ 和 $x_2=2$ ，即
$3\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -5 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}$
可以将向量 $a_1$ ， $a_2$ 和 $b$ 进行行化简的增广矩阵列：
$\begin{bmatrix} 1&2&7 \\ -2&5&4\\ -5&6&-3 \end{bmatrix}$
为简洁起见，可以将此矩阵写成另外一种形式即：
$\begin{bmatrix} a_1&a_2&b \end{bmatrix} \tag{4}$
这样，由向量方程（1）可以直接写出增广矩阵而不必经过中间步骤.按照在（1）中出现的次序排列，就得到矩阵（4）.
由上述讨论可以得到以下结论.

向量方程
$x_1a_1+x_2a_2+\cdots +x_na_n=b$
和增广矩阵为
$\begin{bmatrix} a_1&a_2&\cdots &a_n&b \end{bmatrix} \tag{5}$
的线性方程组有相同的解集.特别地， $b$ 可表示为 $a_1,a_2,\cdots a_n$ 的线性组合当且仅当对应于（5）式的线性方程组有解.

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合 $\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$ 的线性组合的所有向量.

定义若 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，则 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 的所有线性组合所成的集合用记号 $Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$ 表示，称为由 $v_1,v_2,\cdots,v_p$ 所生成（或张成）的 $\mathbb{R}^n$ 的子集.
$Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$ 是有所形如
$c_1v_1+c_2v_2+\cdots +c_pv_p$
的向量的集合，其中 $c_1,c_2,\cdots,c_p$ 为标量.

要判断向量 $b$ 是否属于 $Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$ ,就是判断向量方程
$x_1v_1+x_2v_2+\cdots +x_pv_p=b$
是否有解，或等价地，判断增广矩阵为 $\begin{bmatrix} v_1&v_2&\cdots &v_p&b \end{bmatrix}$ 的线性方程组是否有解.
注意 $Span\lbrace v_1,v_2,\cdots,v_p \rbrace$ 包含 $v_1$ 的所有倍数，这是因为 $cv_1=cv_1+0v_2+\cdots 0v_p$ .特别地，它一定包含零向量.

$Span\lbrace v\rbrace$ 与 $Span\lbrace u，v\rbrace$ 的几何解释

设 $v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的向量，那么 $Span\lbrace v\rbrace$ 就是 $v$ 的所有标量倍数的集合，也就是 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $v$ 和 $0$ 的直线上所有点的集合.
若 $u$ 和 $v$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的非零向量， $v$ 不是 $u$ 的倍数，则 $Span\lbrace u,v\rbrace$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中包含 $u, v$ 和 $0$ 的平面.特别地， $Span\lbrace u,v\rbrace$ 包含 $\mathbb{R}^3$ 中通过 $u$ 和 $0$ 的直线，也包含通过 $v$ 与 $0$ 的直线.

例3 设 $a_1=\begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ 3 \\ \end{bmatrix},a_2=\begin{bmatrix} 5 \\ -13 \\ -3 \\ \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} -3 \\ 8 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ ，则 $Span\lbrace a_1,a_2\rbrace$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中通过原点的一个平面，问 $b$ 是否在该平面内？
方程 $x_1a_1+x_2a_2=b$ 是否有解，把增广矩阵 $\begin{bmatrix} a_1&a_2&b \end{bmatrix}$ 进行化简：
$\begin{bmatrix} 1&5&-3 \\ -2&-13&8 \\ 3&-3&1 \end{bmatrix} \backsim \begin{bmatrix} 1&5&-3 \\ 0&-3&2 \\ 0&-18&10 \end{bmatrix} \backsim \begin{bmatrix} 1&5&-3 \\ 0&-3&2 \\ 0&0&-2 \end{bmatrix}$
第3个方程为 $0 = - 2$ ，说明方程组无解.向量方程 $x_1a_1+x_2a_2=b$ 无解，故 $b$ 不属于 $Span\lbrace a_1,a_2\rbrace$ .