2.1 向量与线性方程组

一、行图像与列图像

线性代数的中心问题是求解线性方程组。线性的意思是这些方程的未知数是一次的，即每个未知数只会乘数字，而不会出现 $x$ 与 $y$ 相乘的项。下面是一个由两个未知数组成的方程组：$$\begin{array}{c}\text{两个方程}\\ \text{两个未知数}\end{array}\{\begin{array}{c}x-2y=1\\ 3x+2y=11\end{array}(\mathrm{2.1.1})$$我们首先一次处理一行。将这两个方程的图像在 $xy$ 平面上画出来，如Figrure 2.1所示。行图像中第一条直线是 $x-2y=1$，第二条直线是 $3x+2y=11$，它们的交点是 $x=3,y=1$，点 $(3,1)$ 同时落在两条直线上，也是两个方程的解。

行：行图像显示两条直线交于一点（解）。

下面考虑列图像，将上述方程组写成 “向量方程式”，我们要观察的是向量而不是数字。向量方程式表示列的组合：$$\text{列的组合等于}\mathbf{b}x\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]=\mathbf{b}(\mathrm{2.1.2})$$左侧有两个列向量，问题是找到这些向量正确的组合使得它们与右侧的向量相等。第一列乘 $x$，第二列乘 $y$，然后将它们相加。正确的组合是 $x=3$，$y=1$（与行图像得到的结果相同），$3(\text{列1})+1(\text{列2})=\mathbf{b}$。

列：列图像组合左侧的列向量产生右侧的向量 $\mathbf{b}$。
Figure 2.2 是两个方程两个未知数的列图像，第一个图是两个不同的列，然后第一列乘 $3$，数乘是线性代数中两个基本运算之一：$$\text{数乘}3\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right]$$如果向量 $\mathbf{v}$ 的分量是 $v_1$ 与 $v_2$，则 $c\mathbf{v}$ 的分量是 $c{v}_1$ 与 $c{v}_2$。
另一个基本运算是向量的加法，分别将两个向量的第一分量和第二分量相加，其和是 $(1,11)$，即 $\mathbf{b}$：$$\text{向量加法}\left[\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]$$Figure 2.2 中的第二个图表示上述的向量加法。黑线表示两个向量，其对角线表示两个向量的和，也就是线性方程组右侧的向量 $\mathbf{b}=(1,11)$。
重复一遍：向量方程式的左侧是列的线性组合，问题是找到正确的系数 $x=3,y=1$。将数乘和向量的加法合成一个步骤，这个步骤非常重要，因为它包含了两个基本运算：向量的两列分别乘 $3$ 和 $1$，然后相加。$$\text{线性组合}3\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]$$方程组左侧的系数矩阵是一个 $2\times 2$ 的矩阵 $A$：$$\text{系数矩阵}A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]$$我们可以从行或者列来观察矩阵，行可以得到行图像，列可以得到列图像。相同的方程组，可以通过不同的图像来观察。方程组写成矩阵方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：$$\text{矩阵方程式}A\mathbf{x}=\mathbf{b}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]$$行图像处理两行，列图像组合两列。将 $x=3,y=1$ 代入 $\mathbf{x}$，即矩阵-向量的乘法：$$\{\begin{array}{c}\text{行的点积}\\ \text{列的组合}\end{array}A\mathbf{x}=\mathbf{b}\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 11\end{array}\right]$$

二、三个未知数三个方程

下面讨论三个未知数，三个方程的情况，未知数是 $x,y,z$，线性方程如下：$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}\{\begin{array}{c}x+2y+3z=6\\ 2x+5y+2z=4\\ 6x-3y+z=2\end{array}(\mathrm{2.1.3})$$方程组的解可能存在也可能不存在，本例中是有解的。一般情况下，当未知数的个数等于方程的个数时（例如本例中），通常会有一个解。
我们首先从两个方面来观察本例：
行： 行图像显示三个平面相交于一点。
列： 列图像三个列的组合产生 $\mathbf{b}=(6,4,2)$。

在行图像中，每个方程表示一个三维空间中的平面，Figure 2.3 中的第一个平面表示 $x+2y+3z=6$，该平面与 $x,y,z$ 轴的交点分别是 $(6,0,0)$，$(0,3,0)$，$(0,0,2)$，这三个点都满足这个方程，且确定一个平面。
由于向量 $(x,y,z)=(0,0,0)$ 不是 $x+2y+3z=6$ 的解，所该平面不过原点。平面 $x+2y+3z=0$ 过原点，且平行于 $x+2y+3z=6$。
第二个平面表示 $2x+5y+2z=4$，它与第一个平面交于一条直线 $L$。一般来说三个未知数两个方程的通解是一条直线，如本例的直线 $L$。（但是方程 $x+2y+3z=6$ 和 $x+2y+3z=0$ 没用通解，它们在空间中表示的两个平面平行。）
第三个平面表示 $6x-3y+z=2$，它与直线 $L$ 相交于一点，这个点落在全部三个平面上，就是三个方程的解。它们的交点是 $(0,0,2)$，这个在行图像中很难看出。

列图像我们写成向量的形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$：$$\text{列的组合}x\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]=\mathbf{b}(\mathrm{2.1.4})$$未知数是系数 $x,y,z$，我们需要对三个列向量进行正确的组合，产生 $\mathbf{b}=(6,4,2)$。
Figure 2.4 是本例的列图像，这些列向量的线性组合可以产生任意的 $\mathbf{b}$ ！当 $\mathbf{b}=(6,4,2)$ 时，需要的组合是第三列乘 $2$，系数为 $x=0,y=0,z=2$。

行图像中的三个平面也是相交于这一点 $(0,0,2)$，这个点就是列的正确组合：$$正确组合(x,y,z)=(0,0,2)0\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]+0\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$
注： 对于 $m$ 个方程 $n$ 个未知数的 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其行图像是在 $n$ 维空间，列的线性组合在 $m$ 维空间。

三、方程组的矩阵形式

行图像中有三行，列图像中有三列，三行三列有 $9$ 个数字，它们形成一个 $3\times 3$ 的矩阵 $A$：$$A\mathbf{x}=\mathbf{b}的系数矩阵A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& -3& 1\end{array}\right]$$大写字母 $A$ 代表这 $9$ 个数，它们形成一个方阵，字母 $\mathbf{b}$ 表示列向量，它的分量是 $6,4,2$。未知数 $\mathbf{x}$ 也是一个列向量，它的分量是 $x,y,z$。（我们用粗体字母表示向量）。对于方程组，我们可以以三种形式来看，式（2.1.3）是行形式；式（2.1.4）是列形式；式（2.1.5）是矩阵形式：$$矩阵方程A\mathbf{x}=\mathbf{b}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right](\mathrm{2.1.5})$$下面讨论一个问题：$A$ 乘 $\mathbf{x}$ 的意义？
$\mathbf{x}$ 可以被行乘，也可以被列乘，它们是同样东西以不同形式来理解。
被行乘：$$A\mathbf{x}代表\text{点积}，每个行乘列\mathbf{x}A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}(row1)\cdot \mathbf{x}\\ (row2)\cdot \mathbf{x}\\ (row3)\cdot \mathbf{x}\end{array}\right](\mathrm{2.1.6})$$
被列乘：$$A\mathbf{x}是\text{列向量的线性组合}A\mathbf{x}=x(column1)+y(column2)+z(column3)(\mathrm{2.1.7})$$将解 $\mathbf{x}=(0,0,2)$ 代入 $A\mathbf{x}$ 将产生 $\mathbf{b}$：$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right]=2\times (column3)=\left[\begin{array}{c}6\\ 4\\ 2\end{array}\right]$$用行形式来解释，则第一行的点积 $(1,2,3)\cdot (0,0,2)=6$，第二行的点积 $(2,5,2)\cdot (0,0,2)=4$，第三行的点积 $(6,-3,1)\cdot (0,0,2)=2$。用列形式来解释，则 $\mathbf{b}$ 为第三列的 $2$ 倍。今后主要将 $A\mathbf{x}$ 当做是 $A$ 列的组合。

【例1】$3\times 3$ 的矩阵 $A$ 和单位矩阵 $I$：$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right]I\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$$通过行形式和列形式都可以得出结果。
单位矩阵 $I$ 的主对角线都是 $1$，这个矩阵乘任何向量都是原来的向量，就像 $1$ 乘上任何数一样，不同的是现在是矩阵乘向量。本例中的 $I$ 是 $3\times 3$ 的单位矩阵：$$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]I\mathbf{x}=\mathbf{x}总成立$$

四、矩阵表示法

一个 $2\times 2$ 的矩阵的第一行是 $a_{11}$ 和 $a_{12}$，第二行是 $a_{21}$ 和 $a_{22}$。第一个下标表示行数，第二个下标表示列数，所以 $a_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的单元。由于下标不方便打出来，所以 $a_{ij}$ 也可以用 $A(i,j)$ 来表示。例如单元 $a_{57}=A(5,7)$ 就在第 $5$ 行，第 $7$ 列。$$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A(1,1)& A(1,2)\\ A(2,1)& A(2,2)\end{array}\right]$$对于 $m\times n$ 的矩阵，行的下标 $i$ 从 $1$ 到 $m$，列的下表 $j$ 从 $1$ 到 $n$，它共有 $mn$ 个单元 $a_{ij}=A(i,j)$，一个 $n$ 阶的方形矩阵有 $n^2$ 个单元。

五、MATLAB 中的矩阵乘法

定义矩阵 $A$ 和 列向量 $\mathbf{x}$，其中 $R^n$ （$n$ 维空间）中的向量 $\mathbf{x}$ 表示一个 $n\times 1$ 的矩阵，输入矩阵时每次输入一行，用分号 ; 表示一行的结束。输入列向量 $\mathbf{x}$ 可以直接以列形式输入，也可以用行形式输入，然后用 ’ 表示转置：

在 MATLAB 中有三种方法可以得到$A\mathbf{x}$：
（1）可以直接使用 MATLAB 语言得到矩阵乘法：

$$b=A\ast x$$

（2）一次处理一行，即点积的形式：选出 $A$ 的每一行，将其视为 $1\times 3$ 的矩阵，可以表示为 $A(1,:)$。在这里冒号 : 代表一行的全部列。

$$b=[A(1,:)\ast x;A(2,:)\ast x;A(3,:)\ast x]$$

（3）一次处理一列，即列的线性组合。第一列是 $3\times 1$ 的子矩阵 $A(:,1)$，这里冒号 : 代表一列的全部行。

$$b=A(:,1)\ast x(1)+A(:,2)\ast x(2)+A(:,3)\ast x(3)$$

MATLAB 中 $A\ast x$ 是用列的形式来实现的。

六、主要内容总结

1. 向量的基本运算是数乘 $c\mathbf{v}$ 和向量的加法 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$。
2. 将向量的数乘与加法相结合可以得到线性组合 $c\mathbf{v}+d\mathbf{w}$。
3. 矩阵 – 向量的乘法 $A\mathbf{x}$ 可以由点积得到，一次处理一行；也可以由 $A$ 的列的线性组合得到，一次处理一列。
4. 列图像：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是找到列的线性组合产生 $\mathbf{b}$。
5. 行图形：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的每个方程会得到一条直线（$n=2$），或一个平面（$n=3$）或一个超平面（$n>3$）。如果仅有一个解会相交于一点，若有很多解，会相交成直线、平面、或超平面。

七、例题

【例2】描述三个方程 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的列图像，仔细观察列（不使用消元法）求解：$$\{\begin{array}{c}x+3y+2z=-3\\ 2x+2y+2z=-2\\ 3x+5y+6z=-5\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 2& 2\\ 3& 5& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-3\\ -2\\ -5\end{array}\right]$$解： 列图像是寻找 $A$ 三个列正确的线性组合产生 $\mathbf{b}$。通过观察可以发现，$\mathbf{b}$ 是第二列的相反数，所以可得 $x=0,y=-1,z=0$。若是要证明 $(0,-1,0)$ 是唯一解，需要确认 $A$ 可逆，三个列之间是无关的，行列式不为 $0$。

【例3】下面的系统无解。行图像中的平面并没有相交于一点。即并不存在三个列的线性组合可以产生 $\mathbf{b}$。$$\{\begin{array}{c}x+3y+5z=4\\ x+2y-3z=5\\ 2x+5y+2z=8\end{array}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 1& 2& -3\\ 2& 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 8\end{array}\right]=\mathbf{b}$$（方程$1$）+（方程2）-（方程3）可得 $0=1$，所以该系统无解。向量 $(1,1,-1)$ 与 $A$ 的三个列均正交（orthogonal），但是与 $\mathbf{b}$ 不正交。
（1）三个平面中存在两个互相平行的平面吗？什么方程与平面 $x+3y+5z=4$ 平行？
（2）计算 $A$ 每一列与 $\mathbf{y}=(1,1,-1)$ 的点积，$\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{y}$ 的点积。这些点积如何能表明 $A$ 列的线性组合无法产生 $\mathbf{b}$？
（3）求出右侧三个不同的向量 ${\mathbf{b}}^{\ast },{\mathbf{b}}^{\ast \ast },{\mathbf{b}}^{\ast \ast \ast }$，使得方程有解。
解：（1）这三个平面中没有两个平行的平面，它们也没有相交于一点（如下图）。将 $4$ 改成任意实数都可以得到与 $x+3y+5z=4$ 平行的平面，例如 $x+3y+5z=0$ 是一个过原点 $(0,0,0)$ 的平面。

（2）$A$ 的每一列与 $\mathbf{y}$ 的点积都为 $0$。$\mathbf{y}\cdot \mathbf{b}=(1,1,-1)\cdot (4,5,8)=1$ 不为 $0$，代入 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 可得 $0=1$，这是不可能的，所以无解，也就表明 $A$ 列的线性组合无法产生 $\mathbf{b}$。
（3）当 $\mathbf{b}$ 是 $A$ 列的线性组合时，则有解。当对应的解 ${\mathbf{x}}^{\ast }=(1,0,0)$，${\mathbf{x}}^{\ast \ast }=(1,1,1)$，${\mathbf{x}}^{\ast \ast \ast }=(0,0,0)$ 时可以得到：$${\mathbf{b}}^{\ast }=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]{\mathbf{b}}^{\ast \ast }=\left[\begin{array}{c}9\\ 0\\ 9\end{array}\right]{\mathbf{b}}^{\ast \ast \ast }=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

【例4】使用 MATLAB 的命令写出定义矩阵 $A$ 和 列向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{b}$ 的指令，什么样的命令可以测试 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ？$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right]\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ 7\end{array}\right]$$解： MATLAB 程序：

A = [1 2; 3 4]; % 定义 2×2 矩阵 A
x = [5 -2]';	% 定义列向量 x
b = [1 7]';		% 定义列向量 b
r = b - A*x		% 验证 A*x = b

允许结果如图所示：

【例5】MATLAB 的命令 A = eye(3) 和 v = [3:5]’ 可以得到 3×3 的单位矩阵和列向量 (3,4,5)。A*v 和 v’*v 的输出是什么？如果是 v*A 呢？
解： MATLAB 程序：

A = eye(3); % 定义一个 3×3 的单位矩阵
v = [3:5]'; % 定义一个 3到5 的列向量
A*v			% A*v = v
v'*v		% v'*v = 3^2+4^2+5^2=50
v*A			% 错误

运行结果：

【例6】若 $4\times 4$ 矩阵 $A$ 的单元全都是 $1$，A = ones(4)，列向量 v= ones(4,1)，A*v 是什么？若 B = eye(4) + ones(4)，w = zeros(4,1) + 2*ones(4,1)，则 B*w 是什么？
解： MATLAB 程序：

A = ones(4);	 				% 定义一个单元全为 1 的 4×4 的矩阵 A
v = ones(4, 1);	 			    % 取 ones(4) 的第一列作为列向量 v
A * v			 				% 计算 A*v
B = eye(4)+ones(4);				% 定义矩阵 B
w = zeros(4, 1) + 2*ones(4,1);  % 定义向量 w；zeros(4,1) 是取 4×4 的全 0 矩阵的第一列的列向量
B*w								% 计算 B*w

运行结果：

【例7】（1）从向量 ${\mathbf{u}}_0=(1,0)$ 开始，每次都在左侧乘相同的 “马可夫（Markov）矩阵” $A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]$，一直到向量 ${\mathbf{u}}_7$。
（2）从向量 ${\mathbf{v}}_0=(0,1)$ 开始，执行（1）中相同的操作，一直到 ${\mathbf{v}}_7$。
观察 ${\mathbf{u}}_7$ 和 ${\mathbf{v}}_7$ 有什么特征？$\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 会趋向于一个稳定的向量 $\mathbf{s}$，猜测一下 $\mathbf{s}$，并验证 $A\mathbf{s}=\mathbf{s}$。使用 MATLAB 语言。

解：（1）从 ${\mathbf{u}}_0$ 开始的 MATLAB 程序：

u = [1;0];				 % 定义列向量 u
A = [0.8 0.3; 0.2 0.7];	 % 定义马可夫矩阵 A
x = u;
k = [0:7];				 % 定义一个 0~7 的行向量
while size(x, 2) <= 7	 % size(x, 2) 为得到矩阵 x 的行数
	u = A*u;			 
	x = [x u];			 % 得到新的矩阵 x，在矩阵 x 后面加上一列 u
end
plot(k, x)				 % 画出矩阵 x 的图像，k 为横轴，x 的每一行作为纵轴

运行结果如下：

（2）从 ${\mathbf{v}}_0$ 开始的 MATLAB 程序：

v = [0; 1]; 
A = [0.8 0.3; 0.2 0.7];
x = v; 
k = [0:7];
for j = 1:7		% for 循环，每次循环默认 j 自动加 1 
    v = A*v; 
    x = [x v];
end
plot(k, x)

运行结果：

向量 ${\mathbf{u}}_7$ 和 ${\mathbf{v}}_7$ 它们分量的和都为 $1$。$\mathbf{s}=(0.6,0.4)$，且 $$\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]$$