线性方程组（二）- 行简化与阶梯形矩阵

最新推荐文章于 2024-08-29 20:35:24 发布
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分类专栏： 线性代数 文章标签： 线性代数 高斯消去法 阶梯形矩阵 行化简算法 线性方程组求解
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小结

  1. 阶梯形（或简化阶梯形）矩阵的定义
  2. 主元位置的定义
  3. 行化简算法的定义
  4. 应用行化简算法解线性方程组

行化简与阶梯形矩阵

矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形）矩阵，若它有一下三个性质：

  1. 每一非零行都在每一零行之上。
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一先导元素的右边。
  3. 某一先导元素所在列下方元素都是零。
    若一个阶梯形矩阵还满足一下性质，则称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）矩阵。
  4. 每一非零行的先导元素是1.
  5. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

阶梯形矩阵对应的方程组就是三角形形式。

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵A\boldsymbol{A}A行等价于阶梯形矩阵U\boldsymbol{U}U，则称U\boldsymbol{U}U为A\boldsymbol{A}A的阶梯形矩阵；若U\boldsymbol{U}U是简化阶梯形矩阵，则称U\boldsymbol{U}U为A\boldsymbol{A}A的简化阶梯形矩阵。

主元位置

矩阵中的主元位置是矩阵A\boldsymbol{A}A中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。主元列是矩阵A\boldsymbol{A}A的含有主元位置的列。

把矩阵[0−3−649−1−2−131−2−303−1145−9−7]\left[\begin{matrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​0−1−21​−3−2−34​−6−105​433−9​91−1−7​⎦⎥⎥⎤​化为阶梯形矩阵，并确定主元列。
解：使用用初等行变换进行转化。记号“～“表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的。

  1. 将第一行于第四行对换（对换变换）
    [0−3−649−1−2−131−2−303−1145−9−7]\left[\begin{matrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​0−1−21​−3−2−34​−6−105​433−9​91−1−7​⎦⎥⎥⎤​～[145−9−7−1−2−131−2−303−10−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1−1−20​4−2−3−3​5−10−6​−9334​−71−19​⎦⎥⎥⎤​
  2. 将第一行的倍数加到其他各行，以使第一个主元位置下面各元素变成0。（倍乘变换和倍加变换）
    [145−9−7−1−2−131−2−303−10−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1−1−20​4−2−3−3​5−10−6​−9334​−71−19​⎦⎥⎥⎤​～[145−9−7024−6−60510−15−150−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​425−3​5410−6​−9−6−154​−7−6−159​⎦⎥⎥⎤​
  3. 将第一行的倍数加到其他各行，以使第一个主元位置下面各元素变成0。（倍乘变换和倍加变换）
    [145−9−7024−6−60510−15−150−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​425−3​5410−6​−9−6−154​−7−6−159​⎦⎥⎥⎤​～[145−9−7024−6−600000000−50]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​4200​5400​−9−60−5​−7−600​⎦⎥⎥⎤​
  4. 将第三行于第四行对换（对换变换）
    [145−9−7024−6−600000000−50]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​4200​5400​−9−60−5​−7−600​⎦⎥⎥⎤​～[145−9−7024−6−6000−5000000]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​4200​5400​−9−6−50​−7−600​⎦⎥⎥⎤​
  5. 矩阵[145−9−7024−6−6000−5000000]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎢⎢⎡​1000​4200​5400​−9−6−50​−7−600​⎦⎥⎥⎤​是所求阶梯形矩阵。第1、2、4列是主元列。

主元是在主元位置上的非零元素。在矩阵转换过程中，通过初等行变换用主元将下面的元素化为0。上述转换过程中，我们使用的主元是1，2，5。

行简化算法

用初等行变换把矩阵[03−664−53−78−5893−912−9615]\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​033​3−7−9​−6812​6−5−9​486​−5915​⎦⎤​先化为阶梯形矩阵，再化为简化阶梯形矩阵。
解：

  1. 确定主元列
    由最左的非零列[033]\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​033​⎦⎤​开始。这是一个主元列。主元位置（0所在位置）在该列顶端。
  2. 选取主元
    在主元列中选取一个非零元素作为主元。若有必要的话，对换两行使这个元素移动主元位置上。
    [03−664−53−78−5893−912−9615]\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​033​3−7−9​−6812​6−5−9​486​−5915​⎦⎤​～[3−912−96153−78−58903−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​330​−9−73​128−6​−9−56​684​159−5​⎦⎤​
  3. 主元下面元素化0
    用初等行变换将主元下面的元素变成0。
    [3−912−96153−78−58903−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​330​−9−73​128−6​−9−56​684​159−5​⎦⎤​～[3−912−961502−442−603−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−923​12−4−6​−946​624​15−6−5​⎦⎤​
  4. 迭代处理子矩阵
    除去主元位置所在的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤，直到子矩阵无非零列。
    [3−912−961502−442−603−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−923​12−4−6​−946​624​15−6−5​⎦⎤​～[3−912−961502−442−6000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−920​12−40​−940​621​15−64​⎦⎤​
    此矩阵即为所求阶梯形矩阵。
  5. 所有主元上面元素化0，主元化1
    由最右边的主元开始，把每个主元上面的各元素变成0。若某个主元不是1，先用倍乘变换变成1。
    [3−912−961502−442−6000014]\quad \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−920​12−40​−940​621​15−64​⎦⎤​～[3−912−90−902−440−14000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−920​12−40​−940​001​−9−144​⎦⎤​
    ～[3−912−90−901−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−910​12−20​−920​001​−9−74​⎦⎤​～[30−690−7201−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​010​−6−20​920​001​−72−74​⎦⎤​
    ～[30−690−7201−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​010​−6−20​920​001​−72−74​⎦⎤​ ～[10−230−2401−220−7000014]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​010​−2−20​320​001​−24−74​⎦⎤​
    此矩阵即为所求简化阶梯形矩阵。

第一至四步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形矩阵的第五步称为向后步骤。

行化简算法通常称为高斯消去法。在第二步选取主元时，计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元。这种方法通常称为部分主元法，可以减少计算中的舍入误差。

线性方程组的解

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。

设某个线性方程组的增广矩阵已化为行等价的简化阶梯形矩阵[10−5101140000]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​010​−510​140​⎦⎤​。因为增广矩阵有4列，所有有3个变量。对应的线性方程组是{x1−5x3=1x2+x3=40=0\begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x1​−5x3​=1x2​+x3​=40=0​。对应于主元列的变量x1x_1x1​和x2x_2x2​称为基本变量。其它变量x3x_3x3​称为自由变量。

只要一个线性方程组是相容的，其解集就可以显式表示。（若有自由变量，用自由变量表示基本变量。）简化阶梯形矩阵使每个基本变量仅包含在一个方程中，容易解出简化阶梯形矩阵[10−5101140000]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​010​−510​140​⎦⎤​的解集的表示式：{x1=1+5x3x2=4−x3x3为自由变量\begin{cases} x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=1+5x3​x2​=4−x3​x3​为自由变量​。
表示式给出的解称为方程组的通解。（因为它给出了所有解的显示表达。）这种解集的表示式称为解集的参数表示。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。

求解线性方程组的通解，该方程组相容且其增广矩阵已经化为[162−5−2−4002−8−13000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​600​220​−5−80​−2−11​−437​⎦⎤​ 。
解：该矩阵已是阶梯形矩阵。使用行化简算法将其化为简化阶梯形矩阵。
[162−5−2−4002−8−13000017]\quad \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​600​220​−5−80​−2−11​−437​⎦⎤​～[162−5010002−8010000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​600​220​−5−80​001​10107​⎦⎤​
～[162−5010001−405000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​600​210​−5−40​001​1057​⎦⎤​～[160300001−405000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​100​600​010​3−40​001​057​⎦⎤​
增广矩阵有6列，所以原方程组有5个变量，对应的方程组为{x1+6x2+3x4=0x3−4x4=5x5=7\begin{cases} x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+6x2​+3x4​=0x3​−4x4​=5x5​=7​
矩阵的主元列是第1、3、5列，所以基本变量为x1x_1x1​，x3x_3x3​，x5x_5x5​，剩下的变量x2x_2x2​和x4x_4x4​为自由变量。我们得到通解为{x1=−6x2−3x4x2为自由变量x3=5+4x4x4为自由变量x5=7\begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2为自由变量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4为自由变量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​=−6x2​−3x4​x2​为自由变量x3​=5+4x4​x4​为自由变量x5​=7​

当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如线性方程组{x1−5x3=1x2+x3=40=0\begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x1​−5x3​=1x2​+x3​=40=0​的解集的另一种参数表示{x1=21−5x2x2=4−x3x3为自由变量\begin{cases} x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=21−5x2​x2​=4−x3​x3​为自由变量​。不过，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。
当方程组步相容时，解集是空集。无论方程组是否有自由变量，解集无参数表示。

存在与唯一性问题

确定线性方程组{3x2−6x3+6x4+4x5=−53x1−7x2+8x3−5x4+8x5=93x1−9x2+12x3−9x4+6x5=15\begin{cases} 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 \\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​3x2​−6x3​+6x4​+4x5​=−53x1​−7x2​+8x3​−5x4​+8x5​=93x1​−9x2​+12x3​−9x4​+6x5​=15​的解是否存在且唯一
解：上面案例中已化出其阶梯形矩阵
[3−912−961502−442−6000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]⎣⎡​300​−920​12−40​−940​621​15−64​⎦⎤​
主元列是第1、2、5列，所以基本变量是x1x_1x1​，x2x_2x2​和x5x_5x5​，自由变量是x4x_4x4​和x5x_5x5​。

当一个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，且主元列不包含最右列（对应方程形如0=b0 = b0=b）时，每个非零方程包含一个基本变量，它的系数非零。或者这些基本变量已完全确认（此时无自由变量），或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示。对于前一种情形，有唯一的解；对后一种情形，有无穷多个解（对应于自由变量的每一个选择都有一个解。）

故方程组的解存在，且有无穷多个解。

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如[0⋯0b],b≠0\left[\begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & b \end{matrix}\right], b\neq0[0​⋯​0​b​],b̸​=0的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情形：

  1. 当没有自由变量时，有唯一解；
  2. 若至少有一个自由变量，则有无穷多解。

应用行化简算法解线性方程组的步骤

  1. 写出方程组的增广矩阵。
  2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形矩阵。确定方程组是否相容。如果不相容，则方程组无解并停止；否则进行下一步。
  3. 继续行化简算法得到它的简化阶梯形矩阵。
  4. 写出由第3步所得矩阵对应的方程组。
  5. 写出解集的参数表示。
一、线性代数中的线性方程组
Ethanan的博客
01-09 3219
最近读了《线性代数及其应用》、《程序员的数学3：线性代数》 整理笔记，方便复习。  一、线性代数中的线性方程组 1.1线性方程组    形如              a1x1+a2x2+…+anxn=b称为线性方程      矩阵记号             x1-2x2+x3=0             2x2-8x2=8             -4x1+5x2+9x3=-
线性代数及其应用 1.2.1行化简与阶梯形矩阵
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cpl0280592017的博客
01-07 1005
我们在拿到一个矩阵后，经过高斯消元法的计算，化简出最后的简化阶梯型矩阵，会发现先导元素的位置并没有改变，因为简化阶梯型总是唯一的（前面定理1）。这个算法的重要性很高，是1.1节中我们谈到的行变化算法的一种精化!不管这个矩阵是不是某一线性方程组的增广矩阵，行化简算法都适用。我们可以很清晰地看出，阶梯型矩阵的先导元素不一定为1，而简化阶梯型矩阵的先导函数一定为1。经过高斯变换后我们能清晰的看到，阶梯型A中，一，二，四列是主元列，主元是1，2，-5。有了这个了解，我们就可以引入两类矩阵来讨论任意矩阵了。
线代（第六版）-- 矩阵的初等变换&线性方程组
2201_75368933的博客
04-23 587
设在矩阵中有一个非零的r阶子式，且所有(r+1)阶子式的值均为零。则r的值称为 矩阵的秩. 即化简成行阶梯形矩阵后，非零行的个数。非零行的首非零元所在列在上一行的首非零元所在列的右面。不可逆矩阵--奇异矩阵--降秩矩阵。首非零元所在的列的其他元均为0。不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。为方阵时，列满秩矩阵为满秩矩阵，也为可逆矩阵。行等价的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵。列等价的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵。可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。可逆矩阵--满秩矩阵。
行化简与阶梯形矩阵
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一个矩阵称为。
矩阵的行简化阶梯型和标准型
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hellocsz的博客
03-26 8万+
矩阵的行简化阶梯型是一种很有用的与原矩阵等价的矩阵，包括有相同的秩,相同的零空间,以及可以用来求解线性方程组 1 阶梯型矩阵和行简化阶梯型矩阵 下面以上节的方程组开始做初等变换: 由方程组得到增广矩阵 ： B= 下边对B进行初等变换： B1是行阶梯型矩阵，其特点是：阶梯线下方的数全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零的行数，阶梯线的竖线(每段竖线的均为一行)后面的第一个元素...
线性代数(九) : 矩阵的行简化阶梯型和标准型
方橙
07-12 4万+
矩阵的行简化阶梯型
1.2 行化简和阶梯形矩阵（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）
schnauzers的博客
11-06 1万+
内容概述 本节首先讲解了矩阵变换的两种形式：阶梯形和简化阶梯形，并讲述了这两种变换之间的关系（最重要的关系是二者的主元位置和主元列是相同的）。之所以引入这两种变换，是为了给解线性方程组和研究线性方程组解的性质提供方便。接下来，讲解了利用简化阶梯形求解线性方程组解的方法，最后讨论了利用阶梯形矩阵判断方程组解的存在性和唯一性的方法，并得出了解线性方程组的一般步骤。 术语约定 非零行： 矩阵中至少包含一...
矩阵分解与线性方程组直接方法_LU分解求逆_线性方程组直接方法_矩阵分解_矩阵求逆_
10-04
2. **高斯消元法**：高斯消元法是线性方程组求解的另一个基础方法，通过行变换将系数矩阵转化为上三角或简化阶梯形矩阵。然后，利用后向代入或向前代入策略求解未知数。虽然高斯消元法在理论上有一定的计算量，但...
易语言解线性方程组源码-易语言
06-13
首先，我们需要定义一个二维数组来存储方程组的系数和常数项，然后通过行变换将方程组化为阶梯形或简化阶梯形，最后回代求解未知数。这个过程涉及到的主要编程技术有： 1. **二维数组操作**：易语言中的数组支持...
高斯消去法、列主元消去、全主元消去法解线性方程组和Gauss-Jordan消元法求矩阵
07-12
首先，**高斯消去法**是通过一系列行初等变换将系数矩阵转化为阶梯形矩阵的过程。这种方法分为两个阶段：上三角化和回代求解。在上三角化过程中，通过行交换、行倍加或行倍乘，使矩阵的非零元素下移，直到得到一个上...
C语言实现矩阵行阶梯与最简变换，求解线性方程组通解
本篇资源详细介绍了如何使用C语言实现矩阵的行阶梯（Row Echelon Form, REF）和行最简变换（Row Reduced Echelon Form, RREF），以及利用这些变换来求解相应的线性方程组。首先，程序导入必要的头文件，如、和，为...
线性代数｜定义：行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形
长行
09-19 6万+
线性代数学习笔记
线性代数--1.2 行化简与阶梯形矩阵
lqblqb的专栏
02-21 1万+
阶梯形矩阵 和 简化阶梯形矩阵 行化简算法 线性方程组的解 解集的参数表示
【高等代数笔记】线性方程组的解法（三、四、五）
随手写写
08-22 1711
齐次线性方程组一定有解，所以齐次线性方程组有唯一解就一定是零解，有非零解就一定是有无穷多个解。由于这个视频课的分p十分抽象，我还是把一节完整的课学完再发表笔记吧，要不然太零碎了。取定任意一组数，就能确定主变量，这些自由未知量能确定无穷多组数，所以此时原方程组有。把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形，相应的阶梯形方程组如果出现“列（不出现常数项那列单独有非0元素，其他列都是0的行），因此。系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵的非零行的数目。（主变量以外的未知量），可以取任意的数，
数学基础 -- 线性代数之行阶梯形
sz66cm 学习随笔
08-29 4565
零行在矩阵的底部：矩阵中如果存在一行全为零的行，这些行必须在矩阵的最下方。每一非零行的首个非零元素为1：这一元素称为该行的主元（leading entry）。主元是从左到右的第一个非零元素，并且主元必须是1。主元所在列的下面的所有元素为零：即主元下面的元素必须全部为零。主元的位置向右移动：对于每一非零行，其主元的位置必须位于上一行的主元的右边。
行阶梯形
weixin_43455016的博客
10-23 7693
文章目录行阶梯形首变量与自由变量行阶梯形矩阵高斯消元法行阶梯形的唯一解超定方程组亚定方程组行最简形齐次方程组 行阶梯形 当方程组无法化为严格三角形时，或许我们可以将其化为行阶梯型。最终得到的系数矩阵不是严格三角形，而是行阶梯形。系数矩阵的水平和垂直线段说明了系数矩阵的阶梯形式。注意，每一步在垂直方向降1，但在水平方向的扩展可能会多于1。 首变量与自由变量 增广矩阵每一行的第一恶非零元对应的变量为首...
线性代数｜阶梯形行列式的性质
长行
09-12 2045
线性代数学习笔记
2020-11-10
wrk13849670851的博客
11-10 459
多片空间前方交会-共线方程法迭代，存在的一些问题 import numpy as np import math as m def r_mat(f,w,k): Rf = np.mat([[m.cos(f), 0, -m.sin(f)], [0, 1, 0], [m.sin(f), 0, m.cos(f)]]) Rw = np.mat([[1, 0, 0],
机器学习-逻辑回归编程作业
wendy0927的博客
07-21 354
一、处理数据（特征映射、初始化） 特征映射为每组数据创造更多的特征，即将原有特征进行多项式组合、提高次幂。 初始化数据 二、正则化的代价函数 J(θ)=1m∑i=1m[−y(i)log⁡(hθ(x(i)))−(1−y(i))log⁡(1−hθ(x(i)))]+λ2m∑j=1nθj2 J\left( \theta \right)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{[-{{y}^{(i)}}\log \left( {{h}_{\theta }}\left( {{x}^{(i)}
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