线性方程组(二)- 行简化与阶梯形矩阵

小结

  1. 阶梯形(或简化阶梯形)矩阵的定义
  2. 主元位置的定义
  3. 行化简算法的定义
  4. 应用行化简算法解线性方程组

行化简与阶梯形矩阵

矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为阶梯形(或行阶梯形)矩阵,若它有一下三个性质:

  1. 每一非零行都在每一零行之上。
  2. 某一行的先导元素所在的列位于前一先导元素的右边。
  3. 某一先导元素所在列下方元素都是零。
    若一个阶梯形矩阵还满足一下性质,则称它为简化阶梯形(或简化行阶梯形)矩阵
  4. 每一非零行的先导元素是1.
  5. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。

阶梯形矩阵对应的方程组就是三角形形式。

任何非零矩阵都可以行化简(即用初等行变换)变为阶梯形矩阵,但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而,一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵A\boldsymbol{A}A行等价于阶梯形矩阵U\boldsymbol{U}U,则称U\boldsymbol{U}UA\boldsymbol{A}A的阶梯形矩阵;若U\boldsymbol{U}U是简化阶梯形矩阵,则称U\boldsymbol{U}UA\boldsymbol{A}A的简化阶梯形矩阵。

主元位置

矩阵中的主元位置是矩阵A\boldsymbol{A}A中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。主元列是矩阵A\boldsymbol{A}A的含有主元位置的列。

把矩阵[0−3−649−1−2−131−2−303−1145−9−7]\left[\begin{matrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{matrix}\right]01213234610543399117化为阶梯形矩阵,并确定主元列。
解:使用用初等行变换进行转化。记号“~“表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的。

  1. 将第一行于第四行对换(对换变换)
    [0−3−649−1−2−131−2−303−1145−9−7]\left[\begin{matrix} 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ \end{matrix}\right]01213234610543399117[145−9−7−1−2−131−2−303−10−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]11204233510693347119
  2. 将第一行的倍数加到其他各行,以使第一个主元位置下面各元素变成0。(倍乘变换和倍加变换)
    [145−9−7−1−2−131−2−303−10−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ -1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ -2 & -3 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]11204233510693347119[145−9−7024−6−60510−15−150−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]10004253541069615476159
  3. 将第一行的倍数加到其他各行,以使第一个主元位置下面各元素变成0。(倍乘变换和倍加变换)
    [145−9−7024−6−60510−15−150−3−649]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 5 & 10 & -15 & -15 \\ 0 & -3 & -6 & 4 & 9 \\ \end{matrix}\right]10004253541069615476159[145−9−7024−6−600000000−50]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{matrix}\right]10004200540096057600
  4. 将第三行于第四行对换(对换变换)
    [145−9−7024−6−600000000−50]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ \end{matrix}\right]10004200540096057600[145−9−7024−6−6000−5000000]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]10004200540096507600
  5. 矩阵[145−9−7024−6−6000−5000000]\left[\begin{matrix} 1 & 4 & 5 & -9 & -7 \\ 0 & 2 & 4 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]10004200540096507600是所求阶梯形矩阵。第1、2、4列是主元列。

主元是在主元位置上的非零元素。在矩阵转换过程中,通过初等行变换用主元将下面的元素化为0。上述转换过程中,我们使用的主元是1,2,5。

行简化算法

用初等行变换把矩阵[03−664−53−78−5893−912−9615]\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]03337968126594865915先化为阶梯形矩阵,再化为简化阶梯形矩阵。
解:

  1. 确定主元列
    由最左的非零列[033]\left[\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 3 \\ \end{matrix}\right]033开始。这是一个主元列。主元位置(0所在位置)在该列顶端。
  2. 选取主元
    在主元列中选取一个非零元素作为主元。若有必要的话,对换两行使这个元素移动主元位置上。
    [03−664−53−78−5893−912−9615]\left[\begin{matrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ \end{matrix}\right]03337968126594865915[3−912−96153−78−58903−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]33097312869566841595
  3. 主元下面元素化0
    用初等行变换将主元下面的元素变成0。
    [3−912−96153−78−58903−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]33097312869566841595[3−912−961502−442−603−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]30092312469466241565
  4. 迭代处理子矩阵
    除去主元位置所在的行以及它上面的各行,对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤,直到子矩阵无非零列。
    [3−912−961502−442−603−664−5]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ \end{matrix}\right]30092312469466241565[3−912−961502−442−6000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]30092012409406211564
    此矩阵即为所求阶梯形矩阵。
  5. 所有主元上面元素化0,主元化1
    由最右边的主元开始,把每个主元上面的各元素变成0。若某个主元不是1,先用倍乘变换变成1。
    [3−912−961502−442−6000014]\quad \left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]30092012409406211564[3−912−90−902−440−14000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]30092012409400019144
    [3−912−90−901−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]3009101220920001974[30−690−7201−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]3000106209200017274
    [30−690−7201−220−7000014]\left[\begin{matrix} 3 & 0 & -6 & 9 & 0 & -72 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]3000106209200017274[10−230−2401−220−7000014]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]1000102203200012474
    此矩阵即为所求简化阶梯形矩阵。

第一至四步称为行化简算法的向前步骤,产生唯一的简化阶梯形矩阵的第五步称为向后步骤

行化简算法通常称为高斯消去法。在第二步选取主元时,计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元。这种方法通常称为部分主元法,可以减少计算中的舍入误差。

线性方程组的解

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时,可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。

设某个线性方程组的增广矩阵已化为行等价的简化阶梯形矩阵[10−5101140000]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]100010510140。因为增广矩阵有4列,所有有3个变量。对应的线性方程组是{x1−5x3=1x2+x3=40=0\begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases}x15x3=1x2+x3=40=0。对应于主元列的变量x1x_1x1x2x_2x2称为基本变量。其它变量x3x_3x3称为自由变量

只要一个线性方程组是相容的,其解集就可以显式表示。(若有自由变量,用自由变量表示基本变量。)简化阶梯形矩阵使每个基本变量仅包含在一个方程中,容易解出简化阶梯形矩阵[10−5101140000]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right]100010510140的解集的表示式:{x1=1+5x3x2=4−x3x3为自由变量\begin{cases} x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \\ \end{cases}x1=1+5x3x2=4x3x3
表示式给出的解称为方程组的通解。(因为它给出了所有解的显示表达。)这种解集的表示式称为解集的参数表示。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。

求解线性方程组的通解,该方程组相容且其增广矩阵已经化为[162−5−2−4002−8−13000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]100600220580211437
解:该矩阵已是阶梯形矩阵。使用行化简算法将其化为简化阶梯形矩阵。
[162−5−2−4002−8−13000017]\quad \left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]100600220580211437[162−5010002−8010000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 2 & -8 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]10060022058000110107
[162−5010001−405000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 2 & -5 & 0 & 10 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]1006002105400011057[160300001−405000017]\left[\begin{matrix} 1 & 6 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ \end{matrix}\right]100600010340001057
增广矩阵有6列,所以原方程组有5个变量,对应的方程组为{x1+6x2+3x4=0x3−4x4=5x5=7\begin{cases} x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}x1+6x2+3x4=0x34x4=5x5=7
矩阵的主元列是第1、3、5列,所以基本变量为x1x_1x1x3x_3x3x5x_5x5,剩下的变量x2x_2x2x4x_4x4为自由变量。我们得到通解为{x1=−6x2−3x4x2为自由变量x3=5+4x4x4为自由变量x5=7\begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2为自由变量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4为自由变量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases}x1=6x23x4x2x3=5+4x4x4x5=7

当一个方程组是相容的且具有自由变量时,它的解集具有多种参数表示。例如线性方程组{x1−5x3=1x2+x3=40=0\begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases}x15x3=1x2+x3=40=0的解集的另一种参数表示{x1=21−5x2x2=4−x3x3为自由变量\begin{cases} x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \end{cases}x1=215x2x2=4x3x3。不过,我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。
当方程组步相容时,解集是空集。无论方程组是否有自由变量,解集无参数表示。

存在与唯一性问题

确定线性方程组{3x2−6x3+6x4+4x5=−53x1−7x2+8x3−5x4+8x5=93x1−9x2+12x3−9x4+6x5=15\begin{cases} 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 \\ \end{cases}3x26x3+6x4+4x5=53x17x2+8x35x4+8x5=93x19x2+12x39x4+6x5=15的解是否存在且唯一
解:上面案例中已化出其阶梯形矩阵
[3−912−961502−442−6000014]\left[\begin{matrix} 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 2 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ \end{matrix}\right]30092012409406211564
主元列是第1、2、5列,所以基本变量是x1x_1x1x2x_2x2x5x_5x5,自由变量是x4x_4x4x5x_5x5

当一个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵,且主元列不包含最右列(对应方程形如0=b0 = b0=b)时,每个非零方程包含一个基本变量,它的系数非零。或者这些基本变量已完全确认(此时无自由变量),或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示。对于前一种情形,有唯一的解;对后一种情形,有无穷多个解(对应于自由变量的每一个选择都有一个解。)

故方程组的解存在,且有无穷多个解。

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说,增广矩阵的阶梯形没有形如[0⋯0b],b≠0\left[\begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & b \end{matrix}\right], b\neq0[00b],b̸=0的行。若线性方程组相容,则它的解集可能有两种情形:

  1. 当没有自由变量时,有唯一解;
  2. 若至少有一个自由变量,则有无穷多解。

应用行化简算法解线性方程组的步骤

  1. 写出方程组的增广矩阵。
  2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形矩阵。确定方程组是否相容。如果不相容,则方程组无解并停止;否则进行下一步。
  3. 继续行化简算法得到它的简化阶梯形矩阵。
  4. 写出由第3步所得矩阵对应的方程组。
  5. 写出解集的参数表示。
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