线性方程组（六）- 线性方程组的应用

小结

1. 经济学中的齐次线性方程组
2. 配平化学方程式

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经济学中的齐次线性方程组

假设一个国家的经济体系可以划分为许多部门，如各种制造、交通、娱乐和服务业。假设我们知道每个部门的年度总产出，并精确知道该总产出是如何在其他经济部门进行分配或“交易”的。称一个部门产出的总货币价值为产出的价格。列昂惕夫证明了下面的结论：
存在能够指派给各个部门总产出的平衡价格，使得每个部门的总收入恰好等于它的总支出。

假设一个经济体系由煤炭、电力（电源）和钢铁三个部门组成，各部门之间的分配如下表所示，其中每一列中的数表示该部门总产出所占的比例。

如表的第二列，将电力的总产出分配如下：40%给煤炭部门，50%给钢铁部门，剩下10%分配给电力部门。
用符号$P_C$，$P_E$，$P_S$分别表示煤炭、电力和钢铁部门年度总产出的价格（即货币价值）。如果可能，求出平衡价格使每个部门的收支平衡。
解：某一部门所在的一列表示它的产出的去向，它所在的一行表示它从哪些部门获得了投入。因此可得出线性方程组：
$\{\begin{array}{l}{P}_C=0.4P_E+0.6P_S\\ P_E=0.6P_C+0.1P_E+0.2P_S\\ P_S=0.4P_C+0.5P_E+0.2p_S\end{array}$～$\{\begin{array}{l}{P}_C-0.4P_E-0.6P_S=0\\ -0.6P_C+0.9P_E-0.2P_S=0\\ -0.4P_C-0.5P_E+0.8p_S=0\end{array}$
接下来进行行化简。为简明起见，数值舍入到小数点后两位。
$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ -0.6& 0.9& -0.2& 0\\ -0.4& -0.5& 0.8& 0\end{array}\right]$～$\left[\begin{array}{cccc}1& -0.4& -0.6& 0\\ 0& 0.66& -0.56& 0\\ 0& -0.66& 0.56& 0\end{array}\right]$～$[\begin{array}{ccc}1& -0.4& -0.6\\ 0& 0.66& -0.56\\ 0& 0& 0\end{array}$