线性方程组（四）- 矩阵方程

小结

1. 矩阵方程的定义
2. 矩阵方程的求解
3. 矩阵方程、向量方程和线性方程组拥有相同的解集
4. $\mathbf{A}\mathbf{x}$的计算、行-向量规则和性质

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$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，它的各列为${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$。若$\mathbf{x}$是${\mathbb{R}}^n$中的向量，则$\mathbf{A}$与$\mathbf{x}$的积（记为$\mathbf{A}\mathbf{x}$）就是$\mathbf{A}$的各列以$\mathbf{x}$中对应元素为权的线性组合，即
$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{a}}_1& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$
注意$\mathbf{A}\mathbf{x}$仅当$\mathbf{A}$的列数等于$\mathbf{x}$中的元素个数时才有定义。

对${\mathbb{R}}^m$中的${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$，把线性组合$3{\mathbf{v}}_1-5{\mathbf{v}}_2+7{\mathbf{v}}_3$表示为矩阵乘向量的形式。
解：把${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$排列成矩阵$\mathbf{A}$，把数3，-5，7排列成向量$\mathbf{x}$，即
$3{\mathbf{v}}_1-5{\mathbf{v}}_2+7{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -5\\ 7\end{array}\right]=\mathbf{A}\mathbf{x}$

方程有形式$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，我们称这样的方程为矩阵方程。由定义$\mathbf{A}\mathbf{x}=x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$可知，任何向量方程都可以写成等价的形式为$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的矩阵方程。而向量方程$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$又和增广矩阵为$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}& \mathbf{b}\end{array}\right]$的线性方程有相同的解集。

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，它的各列为${\mathbf{a}}_1,\cdots ,{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}$，而$\mathbf{b}$属于${\mathbb{R}}^m$，则矩阵方程与向量方程$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=\mathbf{b}$由相同的解集。它又与增广矩阵为$\left[\begin{array}{ccccc}{\mathbf{a}}_1& {\mathbf{a}}_2& \cdots & {\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}& \mathbf{b}\end{array}\right]$的线性方程组有相同的解集。

我们现在可将线性方程组用三种不同但彼此等价的观点来研究：作为矩阵方程、作为向量方程或作为线性方程组。任何情况下，矩阵方程、向量方程以及线性方程组都用相同方法来解—用行化简算法来化简增广矩阵。

解的存在性

方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解当且仅当$\mathbf{b}$是$\mathbf{A}$的各列的线性组合。

设$\mathbf{A}\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ -4& 2& -6\\ -3& -2& -7\end{array}\right]$，$\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]$。方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$是否对一切可能的$b_1,b_2,b_3$有解？
解：把$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$的增广矩阵进行行化简：
$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& b_1\\ -4& 2& -6& b_2\\ -3& -2& -7& b_3\end{array}\right]$~$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& b_1\\ 0& 14& 10& b_2+4b_1\\ 0& 7& 5& b_3+3b_1\end{array}\right]$~$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& b_1\\ 0& 14& 10& b_2+4b_1\\ 0& 0& 0& b_3+3b_1-\frac{1}{2}(b_2+4b_1)\end{array}\right]$
第4列的第3个元素为$b_1-\frac{1}{2}{b}_2+b_3$。故方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$并不是对一切的$\mathbf{b}$都相容，因为$b_1-\frac{1}{2}{b}_2+b_3$可能不为零。

上述方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$并非对所有的$\mathbf{b}$都相容，这是因为$\mathbf{A}$的阶梯形含有零行。假如$\mathbf{A}$在所有三行都有主元，这时增广矩阵的阶梯形不可能产生如$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\end{array}\right]$的行。

当我们说“$\mathbf{A}$的列生成${\mathbb{R}}^m$”时，意思是说${\mathbb{R}}^m$中的每个向量$\mathbf{b}$都是$\mathbf{A}$的列的线性组合。一般地，${\mathbb{R}}^m$中向量集{${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$}生成${\mathbb{R}}^m$的意思是说，${\mathbb{R}}^m$中的每个向量都是${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$的线性组合，即Span{v1,⋯ ,vp}=Rm\boldsymbol{Span\{v_1,\cdots,v_p\}}=\mathbb{R}^{m}Span{v1​,⋯,vp​}=Rm。

设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，下列命题是逻辑上等价的，也就说，对某个\boldsymbol{A}，它们都成立或者都不成立。

1. 对${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$，方程$\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$有解。
2. ${\mathbb{R}}^m$中每个$\mathbf{b}$都是$\mathbf{A}$的列的一个线性组合。
3. $\mathbf{A}$的各列生成${\mathbb{R}}^m$。
4. $\mathbf{A}$在每一行都有一个主元位置。
   注意：这里说的矩阵是系统矩阵，而非增广矩阵。

$\mathbf{A}\mathbf{x}$的计算

计算$\mathbf{A}\mathbf{x}$，其中$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ -1& 5& -3\\ 6& -2& 8\end{array}\right]$，$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$
解：由定义，
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ -1& 5& -3\\ 6& -2& 8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right] \\ =x_1\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 6\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ -2\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}4\\ -3\\ 8\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}2x_1\\ -x_1\\ 6x_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3x_2\\ 5x_2\\ -2x_2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}4x_3\\ -3x_3\\ 8x_3\end{array}\right] \\ =\left[\begin{array}{c}2x_1+3x_2+4x_3\\ -x_1+5x_2-3x_3\\ 6x_1-2x_3+8x_3\end{array}\right] \end{gathered}$$

矩阵$\mathbf{A}\mathbf{x}$的第一个元素是$\mathbf{A}$的第一行与$\mathbf{x}$相应元素乘积之和（有时称为点积）。

计算$\mathbf{A}\mathbf{x}$的行-向量规则
若乘积$\mathbf{A}\mathbf{x}$有定义，则$\mathbf{A}\mathbf{x}$中的第$i$个元素是$\mathbf{A}\mathbf{x}$的第$i$行元素与$\mathbf{x}$的相应元素乘积之和。

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\times 4+2\times 3+(-1)\times 7\\ 0\times 4+(-5)\times 3+3\times 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}r\\ s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\times r+0\times s+0\times t\\ 0\times r+1\times s+0\times t\\ 0\times r+0\times s+1\times t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\\ s\\ t\end{array}\right]$

若矩阵的主对角线上元素为1，其它位置上元素为0，这个矩阵称为单位矩阵，记为$\mathbf{I}$。有$n\times n$单位矩阵，记为${\mathbf{I}}_n$。对任意${\mathbb{R}}^n$中的$\mathbf{x}$，${\mathbf{I}}_n\mathbf{x}$ = $\mathbf{x}$。

矩阵-向量积$\boldsymbol{Ax}的性质

若$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，$\mathbf{u}$和$\mathbf{v}$是${\mathbb{R}}^n$中向量，$c$是标量，则

1. $\mathbf{A}$($\mathbf{u}$ + $\mathbf{v}$) = $\mathbf{A}\mathbf{u}+\mathbf{A}\mathbf{u}$
2. $\mathbf{A}(c\mathbf{u})=c(\mathbf{A}\mathbf{u})$