13、多重积分的计算与可视化

多重积分的计算与可视化

1. 球体体积的计算

在三维空间中计算半径为 1 的球体体积，球体区域满足 (x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1)。使用笛卡尔坐标进行积分的朴素方法如下：
体积 (V) 的表达式为：
(V=\iiint_{R}dzdydx=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}}\int_{-\sqrt{1 - x^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}-y^{2}}}dzdydx)
(=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}}2\sqrt{1 - x^{2}-y^{2}}dydx)
也可以通过变量代换得到其他形式，如：
(V = 8\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1}(1 - x^{2})\sqrt{t - t^{2}}dtdx)
在 MATLAB 中进行数值计算：

integral2(@(x,t) 8*(1-x.^2).*sqrt(t-t.^2), -1, 1, 0, 1)

得到结果与精确值 (\frac{4}{3}\pi) 的误差达到 12 位小数精度，但在更复杂的三重积分问题中，尤其是区域 (R) 的几何形状复杂时，误差可能会更显著。

2. 三维固体区域的可视化

为了可视化三维固体区域，我们编写了 viewSolid 函数：