23、复分析、复势与二维三维输运问题解析

复分析、复势与二维三维输运问题解析

1. 复分析与复势基础

在MATLAB中，若采用复数表示二维平面，势函数和流函数的可视化会更加容易。例如，生成汇或源的势函数的简单命令序列就可借助复数实现。

复势相关的几个重要概念和公式如下：
- 复势与实势、流函数的关系 ：虚势 (F) 与实势 (\varphi)、流函数 (C) 之间的关系为 (F = \varphi + iC) ，其中 (i) 是虚数单位，为 -1 的平方根。在MATLAB中，可通过 real 和 imag 函数分别获取复数的实部和虚部，从而得到实势和流函数，即 (\varphi = Re(F)) ， (C = Im(F)) 。
- 复数的表示 ：任何复数 (z) 都可以用绝对值 (r = \sqrt{x^2 + y^2}) 和角度 (\theta) 表示为 (z = re^{i\theta}) 。在MATLAB中也有相应的命令来处理这种表示。其共轭复数定义为 (\overline{z} = x - iy) ，可使用 conj 函数计算。

2. 基本流动模式的解析元素

不同流动模式有对应的解析元素，包括实势和流函数，具体如下表所示：
| 元素 | 实势 (\varphi) | 流函数 (C) |
| ---- | ---- | ---- |
| 基流（ (x) 分量 (Q_{x0}) ， (y) 分量 (Q_{y0}) ） | (- Q_{x0}x - Q_{y0}y) | (- Q_{