14、环境建模中的常微分方程应用与数值求解

环境建模中的常微分方程应用与数值求解

1. 常微分方程基础与应用场景

常微分方程（ODE）指的是只依赖一个自变量的函数的微分方程，相较于包含多个自变量的偏微分方程，其形式更为简单。在大多数模型或模拟中，自变量通常为时间和/或空间。在环境建模里，常微分方程主要出现在以下两种情形：
- 情形一：忽略空间差异，关注时间发展 ：在这类系统中，空间差异可被忽略，重点探究系统随时间的演变。例如在化学领域，连续搅拌反应器就是一个典型例子，可将时间(t)作为唯一自变量进行分析。像某些物质浓度的瞬态变化仅由降解或衰变过程主导时，就属于这种情况。在实际场景中，尽管理想系统较少存在，但在某些情况下，无空间依赖性的假设可近似成立，如湖泊中物质的长期积累就可借助理想混合水库的概念进行建模。
- 情形二：忽略时间因素，寻求稳态解 ：当系统可用单一空间变量描述时，可忽略时间因素，寻求系统的稳态解。这种模型在水生沉积物研究中较为常见，因为沉积物中的参数和变量通常会在垂直于水 - 沉积物界面的方向上呈现出特征性的变化。此外，在特定条件下，河流、地表水入渗含水层等情况也可采用一维方法进行建模，这是因为此时横向梯度几乎为零。

2. 数值求解工具

除了解析解，MATLAB® 提供了两种数值求解器来处理常微分方程问题：
- ode15s ：用于求解初值问题，这类问题仅需为自变量的一个值（通常为(t = 0)）设定边界条件。
- bvp4c ：用于求解边值问题，边值问题要求在自变量区间的两端都设定边界条件。