94、微分约束下的规划方法与网格搜索策略

微分约束下的规划方法与网格搜索策略

1. 搜索方向与边值问题（BVP）

1.1 单向搜索

• 正向搜索 ：可达图从初始状态 (x_I) 开始。在这种情况下，边值问题（BVP）有可能通过初始区域的存在而避免。
• 反向搜索 ：如图 1 所示，反向单向搜索会将 BVP 转移到 (x_I)。由于 (x_I) 是精确给定的，不像正向搜索那样有“初始区域”，所以 BVP 难以避免。不过，如果算法生成的解 (\tilde{u}) 使得 (x(0)) 非常接近 (x_I)，并且目标区域 (X_G) 较大，那么可以尝试挽救这个解。具体做法是，使用系统模拟器从 (x_I) 而不是 (x(0)) 开始应用 (\tilde{u})。若满足 (f) 相对于 (x) 的变化量较小（即 Lipschitz 常数较小）且 (|x_I - x(0)|) 较小，那么 (\tilde{x}(x_I, \tilde{u})) 可能始终接近 (\tilde{x}(x(0), \tilde{u}))。但随着时间增加，两条轨迹上点的差异通常会增大。若系统模拟器验证 (\tilde{x}(x_I, \tilde{u})) 无违规且最终状态仍在 (X_G) 内，则可认定为一个解。

1.2 双向搜索

双向搜索时，如图 2 所示，BVP 必须在轨迹中间的某个位置求解，这使得确定两棵树是否能连接的问题变得复杂。若目标区域较大，可通过移动反向树生成轨迹的起始状态来消除轨迹中间的间隙。设 (\tilde{u}_1) 和 (\tilde{u}_2) 分别为正向和反向树生成的动作轨迹，终止时间分