91、微分约束下的采样式规划

微分约束下的采样式规划

1. 引言

在处理存在障碍物的情况时，由于动量的影响会带来诸多挑战。状态空间中可能存在很大一部分区域根本不值得探索，因为它们处于不可达区域 (X_{ric})。然而，目前尚无切实可行的方法来准确判断状态是否处于 (X_{ric})。随着动量和障碍物数量的增加，这个问题会变得愈发棘手。

2. 可达性与完备性

采样式规划算法需要一些初步的概念。在之前的规划中，对 (C) 空间进行采样至关重要，关键在于采样序列要足够密集，以便能任意接近 (C_{free}) 中的任何点。但在微分约束下的规划，解决方案需通过动作轨迹来指定，而非直接在 (X_{free}) 中的路径，这使得规划变得复杂。为使采样式算法具有分辨率完备性，对动作轨迹空间的采样和搜索必须能在 (X_{free}) 中形成一个密集的集合。

2.1 可达集

在之前的算法中，分辨率完备性和概率完备性依赖于在 (C) 上的密集采样序列。在当前情况下，则需要在 (X) 上进行密集采样。但微分约束极大地增加了采样的复杂性，通常规定必须到达 (X) 中的精确采样点是不合理的，因为到达这些点可能是不可能的，或者需要求解一个边值问题（BVP）。由于 (X) 中的路径是通过动作轨迹间接获得的，所以完备性分析要从考虑哪些点可以通过积分动作轨迹到达开始。

2.1.1 可达集

假设暂时没有障碍物，即 (X_{free} = X)。设 (U) 是时间区间 ([0, \infty)) 上所有允许的动作轨迹的集合。对于每个 (\tilde{u} \in U)，可以通过式 (14.1) 定义一个状态轨迹 (\tilde{x}(x_0, \tild