94、微分约束下的采样规划方法

微分约束下的采样规划方法

1. 搜索方向与边值问题（BVP）

1.1 单向搜索

• 反向单向搜索 ：在反向单向搜索中，边值问题（BVP）会转移到初始状态 (x_I)。由于 (x_I) 是精确给定的，不像正向搜索那样可以避免 BVP。如果算法生成的解 (\tilde{u}) 使得 (x(0)) 非常接近 (x_I)，并且目标区域 (X_G) 较大，那么有可能挽救这个解。可以从 (x_I) 而不是 (x(0)) 应用系统模拟器到 (\tilde{u}) 上。要使 (\tilde{x}(x_I, \tilde{u})) 始终接近 (\tilde{x}(x(0), \tilde{u}))，需要 (f) 相对于 (x) 的变化仅产生小的变动（由小的 Lipschitz 常数暗示），并且 (|x_I - x(0)|) 较小。但随着时间增加，两条轨迹上点的差异通常会增大。如果系统模拟器验证 (\tilde{x}(x_I, \tilde{u})) 无违反情况且最终状态仍在 (X_G) 中，则可宣布找到解。
• 搜索图与可达性图关系 ：在单向搜索中，搜索图始终是可达性图的子集（假设精度完美且无数值积分误差）。正向搜索时，可达性图从 (x_I) 开始；反向搜索时，从 (x_G) 开始。

1.2 双向搜索

• BVP 位置 ：双向搜索时，BVP 必须在轨迹中间的某个位置求解，这使得确定两棵树是否可以连接的问题变得复杂。
• 轨迹拼接 ：设 (\tild