95、微分约束下的规划方法解析

微分约束下的规划方法解析

1. 微分约束下的规划基础

在规划问题中，我们用 (t_F) 表示应用终止动作的时间。若对于所有 (t \in [0, t_F])，以 (q(t)) 为中心、半径为 (\delta(c_0, c_1)(\dot{q})) 的球不会与工作空间 (W) 中的障碍物发生碰撞，则称该状态轨迹为 (\delta(c_0, c_1)) - 安全的。这里球的半径会随速度线性增长，可将机器人想象成一个半径由速度决定的圆盘。

给定 (x_I)、(x_G)、(c_0) 和 (c_1)（仅允许点目标区域），对于给定问题，若存在一个 (\delta(c_0, c_1)) - 安全的状态轨迹（由任意 (\tilde{u} \in U) 积分得到），且在时间 (t_{opt}) 后终止于 (x_G)。通过选择合适的 (\epsilon_t)（由特定公式给出），对可达性格进行广度优先搜索，可找到一条 ((1 - \epsilon)\delta(c_0, c_1)) - 安全的轨迹，其耗时最多为 ((1 + \epsilon)t_{opt})，并能近似连接 (x_I) 到 (x_G)（在状态空间 (X) 中的接近程度取决于 (\epsilon)）。该算法的运行时间在 (1 / \epsilon) 和用于定义多边形障碍物的基元数量上是多项式的。

不过，需要注意的是，这并不一定意味着计算得到的解接近真正的最优解，只是执行时间相近。因此，该算法给出的解可能与包含真正最优轨迹的同伦类不同。

1.1 反向和双向版本

在这部分内容中，存在着完美的对称性。通过反向时间积分，可以得到类似于图 14.13 中的可达性格，它能指示出从哪些动作序列和相关初始状态可