85、微分约束下的规划与力学模型解读

微分约束下的规划与力学模型解读

在规划问题中，我们常常会遇到各种各样的约束条件，其中微分约束是一类重要的约束。下面我们将深入探讨在微分约束下的规划问题，包括不同类型的微分模型以及基础的牛顿 - 欧拉力学模型。

1. 相空间与漂移特性

在规划中，我们可能会思考是否可以通过引入足够高维的相空间来完全消除导数。实际上，这是可行的。例如，当存在二阶约束时，我们可以引入一个 3n 维的相空间，其中 (x = (q, \dot{q}, \ddot{q}))，这样像 (g(q, \dot{q}, \ddot{q}) = 0) 这样的约束就可以表示为 (g(x) = 0)。然而，使用这种表示方法的问题在于，状态必须以类似于遍历封闭运动链解集的方式遵循约束表面，这就是为什么在这种情况下会出现切空间。在任何情况下，空间中每个点的允许速度集合都会受到约束。

使用相空间定义的问题通常具有一种有趣的特性，称为漂移。这意味着对于某些 (x \in X)，不存在任何 (u \in U) 使得 (f(x, u) = 0)。而在之前的一些例子中，总是存在这样的动作，这些是无漂移系统的例子。这是因为那些约束不涉及动力学。在动力学系统中，由于动量的存在，不可能瞬间停止，这就是一种漂移。例如，一辆以 100 km/h 的速度朝着 3 米外的砖墙行驶的汽车，不存在任何动作（如猛踩刹车）能使汽车瞬间停止。一般来说，在相空间中不可能瞬间停止。

2. 线性系统

现在我们已经将相空间定义为一种可以处理动力学的特殊状态空间，基于数学形式对可以定义的微分模型进行分类是很方便的。线性系统是研究最广泛的一类，特别是在控制理论的背景下。这是因为线性代数中的许多强大技术可以应用于产生良好的控制律。