88、微分模型：拉格朗日与哈密顿力学解读

微分模型：拉格朗日与哈密顿力学解读

1. 应用操作与状态转移方程推导

1.1 应用操作

在以往的假设中，机械系统未施加任何操作。但在实际情况里，可将操作向量 (u \in R^n) 作为广义力应用于拉格朗日公式中，作用于欧拉 - 拉格朗日方程的右侧，得到：
[
\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial L}{\partial q} = u
]
操作会迫使机械系统偏离其正常行为。有时，真实的操作可能通过其他变量表示，此时 (u) 可通过变换 (\varphi(u)) 获得，且 (u) 的维度不一定为 (n)。

1.2 状态转移方程推导步骤

以下是使用拉格朗日力学在光滑 (n) 维流形的坐标邻域上推导微分模型的一般步骤：
1. 确定系统自由度并定义流形 ：确定系统的自由度，定义合适的 (n) 维光滑流形 (C)。
2. 表达动能 ：将动能表示为配置速度分量的二次形式：
[
K(q, \dot{q}) = \frac{1}{2} \dot{q}^T M(q) \dot{q} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} m_{ij}(q) \dot{q}_i \dot{q}_j
]
3. 表达势能 ：表达势能 (V(q))。
4. 确定拉格朗日函数并求微分约束 ：令 (L