69、传感器与信息空间

传感器与信息空间

在涉及连续状态空间的应用中，传感器和信息空间的概念至关重要。本文将深入探讨历史信息状态、信息空间的构建、派生信息空间以及连续状态空间下的传感器模型等内容。

1. 历史信息状态与信息空间

• 历史信息状态 ：若将 $\tilde{u}_t$ 和 $\tilde{y}_t$ 与初始条件 $\eta_0$ 相结合，可得到时间 $t$ 时的历史信息状态 $\eta_t$，其表达式为：
  [
  \eta_t = (\eta_0, \tilde{u}_t, \tilde{y}_t)
  ]
• 历史信息空间 ：时间 $t$ 时的历史信息空间 $I_t$ 是所有可能的 $\eta_t$ 的集合。需要注意的是，$I_t$ 是一个函数空间，因为每个 $\eta_t \in I_t$ 都是时间的函数。连续时间下的历史信息空间 $I_{hist}$ 可表示为：
  [
  I_{hist} = \bigcup_{t \in T} I_t
  ]
  这是一个不规则的函数集合，因为它们具有不同的定义域。
• 成本泛函 ：为了评估计划的执行情况，可以给出连续时间版本的成本泛函 $L$，其作用于任何状态 - 动作历史 $(\tilde{x} t, \tilde{u}_t)$ 可得：
  [
  L(\tilde{x}_t, \tilde{u}_t) = \int {0}^{t} l(x(t’), u(t’)) dt’ + l_F(x(t))
  ]
  其中