45、反馈运动规划中的积分曲线、流形与切空间

反馈运动规划中的积分曲线、流形与切空间

1. 积分曲线与微分方程解

在连续空间中，对于微分方程 $\frac{d\tau}{dt}(t) = f(\tau(t))$，当满足初始条件 $\tau(0) = x_0$ 时，$\tau(t)$ 代表该微分方程的积分曲线（或解轨迹）。这也可表示为积分形式 $\tau(t) = x_0 + \int_{0}^{t} f(\tau(s))ds$，这种解被称为卡拉西奥多里意义下的解。直观上，积分曲线从 $x_0$ 出发，沿着速度向量指示的方向流动。

1.1 示例

• 常速度场的积分曲线 ：在 $\mathbb{R}^2$ 中定义常向量场 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 2$，从 $(0, 0)$ 出发的积分曲线为 $\tau(t) = (t, 2t)$，易验证对于所有 $t \geq 0$，$\frac{d\tau}{dt}(t) = f(\tau(t))$ 成立。
• 线性速度场的积分曲线 ：考虑 $\mathbb{R}^2$ 上的速度场 $\dot{x}_1 = -2x_1$ 和 $\dot{x}_2 = -x_2$，函数 $\tau(t) = (e^{-2t}, e^{-t})$ 表示从 $(1, 1)$ 出发的积分曲线。在 $t = 0$ 时，$\tau(0) = (1, 1)$ 为初始状态，且对于所有 $t > 0$，$\frac{d\tau}{dt}(t) = f(\tau(t))$ 成立。一般地，若每个 $f_i$ 是坐标变量 $x_1, \ldots, x_n$ 的线性函数，则得到线性速度场，其积分曲线通常通