6、柔性元件与柔顺机构的构建与分析

柔性元件与柔顺机构的构建与分析

1. 多自由度柔性元件

除了细长梁，叶片也是广泛使用的柔性元件类型。两者最大的区别在于几何形状不同，导致自由度不同。细长梁有五个自由度，包括两个横向平移和三个旋转；叶片的自由度可通过与细长梁相同的自由度分析程序来估算。

叶片长度为 $L$，宽度为 $b$，厚度为 $h$，且 $L$ 和 $b$ 尺寸相近，$L,b\gg h$。未变形时，在叶片中心建立坐标系 ${O, x, y, z}$，该坐标系固定在空间中，其轴与叶片的主轴重合。还有一个与叶片主体固定的坐标系 ${O’, x’, y’, z’}$，叶片初始位置时与 ${O, x, y, z}$ 重合，变形时移动到新位置。

由于坐标系与梁的跨中重合且只考虑小变形，根据经典的欧拉 - 伯努利梁理论可推导柔顺矩阵 $C$，其形式与式 (3.19) 相同。叶片具有恒定的矩形横截面积 $bh$ 和长度 $L$，忽略叶片截面的剪切效应和旋转惯性。惯性矩 $I_x$ 和 $I_y$ 分别为 $I_x = \frac{1}{12}hb^3$ 和 $I_y = \frac{1}{12}bh^3$，矩形截面的扭转常数 $I_z$ 在 $\frac{h}{b} \leq 1$ 时为 $I_z = bh^3(\frac{1}{3} - 0.21\frac{h}{b}(1 - \frac{h^4}{12b^4}))$。由此可得到类似的统一柔顺矩阵 $C’$：

$C’ = \frac{L}{12E I_x} \cdot diag\left[\left(\frac{b}{h}\right)^2 \cdot \left(\frac{L}{x}\right)^2 \quad \left(\frac{L}{x}\