37、机器人运动规划拓展：时变、多机器人与速度约束

机器人运动规划拓展：时变、多机器人与速度约束

1. 时变问题的运动规划

在机器人运动规划中，时变问题是一个重要的研究方向。我们可以通过定义状态空间 (X = C \times T) 来处理这类问题，其中 (x = (q, t)) 和 (x’ = (q’, t’))，并引入度量 (\rho_X(x, x’))：
[
\rho_X(x, x’) =
\begin{cases}
0 & \text{if } q = q’ \
\infty & \text{if } q \neq q’ \text{ and } t’ \leq t \
\rho(q, q’) & \text{otherwise}
\end{cases}
]

利用 (\rho_X)，一些基于采样的方法可以自然地应用。例如，RDTs 可以适应于 (X)。使用 (\rho_X) 的单树方法能确保所有路径段在时间上向前推进。但对于双向方法，由于目标状态 (X_G) 通常不是一个单点，实现起来更困难。一种可能是将目标树初始化为一个完整的时不变段。基于采样的路线图方法可能是最容易适应的，需要有向路线图的概念，其中每条边必须有方向以产生时间单调的路径。对于每对状态 ((q, t)) 和 ((q’, t’))，当 (t \neq t’) 时，只有一个有效的方向可以形成潜在的边；如果 (t = t’)，则不能尝试形成边，因为这需要机器人瞬间“传送”。

组合方法在某些情况下也可用于解决时变问题。如果运动模型是代数的（即由多项式表示），那么 (X_{obs}) 是半代数的，这使得可以应用基于计算实代数几何的通用规划器。关键问题是得到的路线图