12、机器人运动规划与几何变换详解

机器人运动规划与几何变换详解

1. 机器人的平移与旋转

在机器人运动规划中，机器人的平移和旋转是基础操作。

1.1 平移

机器人的平移有两种解释，一种是世界坐标系固定，机器人进行平移；另一种是机器人固定，世界坐标系进行平移。通常在运动规划问题中，采用世界坐标系固定，机器人平移的解释，因为它更符合机器人在现实物理世界中的运动情况。

对于一个机器人模型 (A)，如果将其在 (x) 方向平移 (x_t) 个单位，在 (y) 方向平移 (y_t) 个单位，其变换后的模型 (h(H_i)) 可以表示为：
(h(H_i) = {(x, y) \in W | f (x - x_t, y - y_t) \leq 0})

例如，若机器人是一个以原点为中心，半径为 1 的圆盘，其模型为 (H_i = {(x, y) \in R^2 | x^2 + y^2 - 1 \leq 0})。当它在 (x) 方向平移 (x_t) 个单位，在 (y) 方向平移 (y_t) 个单位后，变换后的模型为：
(h(H_i) = {(x, y) \in W | (x - x_t)^2 + (y - y_t)^2 - 1 \leq 0})

平移后的机器人表示为 (A(x_t, y_t))，当平移量为 ((0, 0)) 时，为恒等变换，即 (A(0, 0) = A)。这里引入自由度的概念，若 (x_t) 和 (y_t) 的取值范围构成 (R^2) 的二维子集，则自由度为 2。

1.2 旋转

机器人 (A) 可以绕原点逆时针旋转角度 (\theta \in [0, 2\pi))，对于 (A) 中的每一个点 ((x, y