戴德金--连续性和无理数--我自己做的中文翻译第3页

$一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九零一二三四五六七八九$
$为了表达符号a和b代表同一个有理数我们写成a=b或者b=a。当a不等于b时，$
$a-b为正值或负值。对于前者，我们说a大于b，b小于a，也可以表示为a>b，b<a。$
$当b-a为正值时，则有b>a，a<b。$
$关于两数的这两种不相等的情况，下面的定律成立：$
$1.若a>b,b>c,则a>c。$
$我们借助几何直观，可以毫不犹豫地得出结论：b位于a和c之间；$
$2.若a和c是不同的数，那么a和c之间有无穷多不同的数；$
$3.若a是一个确定的数，那么所有R中的数，分为两类，A_1和A_2，每一类都包含无穷$
$多的个体；第一类A_1包含所有小于a的数a_1，第二类包含所有小于a的数a_2，a可被$
$任意归于第一类或者第二类，从而成为第一类的最大值或者是第二类的最小值。对R的任$
$何一种分割，第一类A_1中的每个数都小于第二类A_2中的每个数。$
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$二、有理数和一条直线上的点的对比$
$由以上提到的有理数的特性，自然会联想到直线L上的各点之间的相对位置关$
$系。如果这条直线的彼此相对的两个方向，用“左”和“右”来区分，并且p,q是两个不同的点，$
$则有，或者p在q之右，与此同时，q在p之左；或者与此相反，q在p之右，与此同时，p在q$
$之左。如果p、q是两个实际不同的点，那么它们之间的位置关系只有这两种情况，不存在$
$第三种可能。由此，下面的定律成立：$

$1.若p位于q之右，q位于r之右，那么p位于r之右，此时我们说q位于p和r之间；$
$2.若p，r是两个不同点，那么p点和r点之间存在无穷多的点；$
$3.若p是L上一个确定的点，那么L上的全部点可以分为两类，P_1，P_2,每一类都包含无$
$穷多个体；第一类P_1包含全部位于p之左的点p_1，第二类P_2包含全部位于p之右的点p_2，点p$
$可以任意划归于第一类或第二类。任何一个把直线分为两部分的分割，都有一个共同点：$
$P_1的所有点，都位于P_2的所有点的左侧；$