2.2 拓扑空间与连续映射

§2.2　拓扑空间与连续映射

　　本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.

　　注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.

　　现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．

　　定义2.2.1　设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：

　　（l）X，∈T ；

　　（2）若A，B∈T　，则A∩B∈T ；

　　（3）若则称 T是X的一个拓扑．

　　如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集

　　（此定义与度量空间的开集的性质一样吗）

　　经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．

　　现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．

　　定义2.2.2　设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，