2.1 度量空间与连续映射

第2章　度量空间与连续映射

　　从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．

§2.1　度量空间与连续映射

　　本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．

　　注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．

　　注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．

　　首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有
|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.

　　定义2.1.1　设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何
x，y，z∈X，有

　　（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；

　　（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；

　　（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)

　　则称ρ是集合X的一个度量．

　　如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．

　　着重理解：度量的本质是什么？

　　例2.1.1　实数空间R．

　　对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令
ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）

　　例2.1.2　n维欧氏空间．

　　对于实数集合R的n重笛卡儿积

　　＝R×R×…×R

　　定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,
y=，

　　令

　　 ρ（x，y）＝

容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）

　　例2.1.3　Hilbert空间H．

　　记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即

　　H＝{x=()|<∞}

　　定义ρ如下：对于任意

　　 x＝（），y＝（）∈H

　　令ρ(x,y)=

说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．

　　例2.1.4　离散的度量空间．

　　设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．

　　例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何
x，y∈X，有

　　 ρ(x,y)=

容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．

　　通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．

　　离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．

　　定义2.1.2　设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合

　　 {y∈X|ρ（x，y）<ε}

记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．

　　此处的球形邻域是球状的吗？

　　定理2.1.1　度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：

　　（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；

　　（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；

　　(3)如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．

　　证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．

　　(2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数

　　ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有

　　 B（x，ε）B（x，）∩B（x，）

即B（x，ε）满足要求．

　　（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．显然．＞0．如果z∈B（y，），则

　　ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε

所以z∈B（x，ε）．这证明B（y，）B（x，ε）．

　　定义2.1.3　设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．

　　注意：此处的开集仅是度量空间的开集．

　　例2.1.5　实数空间R中的开区间都是开集．

　　设a，b∈R，a＜b．我们说开区间

　　 （a，b）={x∈R|a＜x＜b}

是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令
ε＝min{x-a，b-x}，

　　则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间

　　（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}

　　 （-∞,∞）＝R

都是R中的开集．然而闭区间

　　 [a，b]={x∈R|a≤x≤b}

却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何
ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间

　　（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}

　　无限的闭区问

　　[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}

都不是R中的开集．

　　定理2.1.2　度量空间X中的开集具有以下性质：

　　（1）集合X本身和空集都是开集；

　　（2）任意两个开集的交是一个开集；

　　（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．

　　证明　根据定理2.1.1

　　（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．

　　（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理2.1.1（2），x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B（x，），因此

　　B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V

由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．

　　（3）设*Α是一个由X中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．

　　此外，根据定理2.1.1（3）可见，每一个球形邻域都是开集．

　　球形邻域与开集有何联系？

　　为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．

　　定义2.1.4　设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈VU，则称U是点x的一个邻域．

　　下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．

　　定理2.1.3　设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．

　　证明 如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得
x∈VU，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．

　　反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．

　　现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．

　　定义2.1.5　设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．

　　如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．

　　以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有

　　(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．

　　下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．

　　定理2.1.4　设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：

　　（1）f在点处是连续的；

　　（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；

　　（2）f是连续的；

　　（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．

　　证明　条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f在点处是连续的，所以有一个球形邻域
B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以
B（，δ）（U），这证明（U）是的一个邻域．

　　条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f（）的一个邻域B（f(),ε），则（B（f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B（，δ）包含于
（B（f（），ε）．

　　因此f（B（，δ））B（f（），ε）．这证明f在点处连续．

　　条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V为Y中的一个开集，
U＝（V）．对于每一个x∈U，我们有f（x）∈V．由于V是一个开集，所以V是f（x）的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故根据（1）*，U是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得UxU．易见U＝∪x∈UUx．由于每一个Ux都是开集，根据定理2.1.2，U是一个开集．

　　条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U是f（x）的一个邻域，即存在包含f（x）的一个开集V U．从而x∈（V）（U）．根据条件（2）*，（V）是一个开集，所以（U）是x的一个邻域，对于x而言，条件（1）*成立，于是f在点x处连续．由于点x是任意选取的，所以f是一个连续映射．

　　从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理2.1.2）建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念

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