卡特兰数生成函数推导

卡特兰数的定义
最新推荐文章于 2025-10-27 13:48:49 发布
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#算法

博客提及了卡特兰数的定义，但未展开详细内容。卡特兰数是信息技术领域算法相关概念。

问题引入
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这就是卡特兰数的定义。
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卡特兰数详解
lucius-liu.cn
09-08 734
卡特兰数常见应用问题：括号匹配问题、出栈次序问题、多边划分为三角形问题、二叉树计数问题
卡特兰数通项公式详细推导过程
chenf1999的博客
09-22 7145
设法求解下面这个递归式或给出其最低上界的阶，设P(1)=1P(1)=1P(1)=1 P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k) \large{P(n)=\sum^{n-1}_{k=1}P(k)P(n-k)} P(n)=k=1∑n−1​P(k)P(n−k) 易知P(n)P(n)P(n)就是卡特兰数，下面用生成函数法求解出其通项公式。 设生成函数为： g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+... \large{g(x)=h(1)x+h(2)x^2+...+h(k)x^k+...} g(x
Catalan数计算公式
∑bit
04-09 3494
#include<iostream> using namespace std; struct BIGNUM { int s[200], l; }c[120]; //c[i]=hi BIGNUM operator*(BIGNUM a, int b) //a=a*b { for (int i = 0; i < a.l; i++) a.s[i] *= b; for(int i=...
学习笔记第十八节：卡特兰数
Deep_Kevin的娱乐空间
06-28 547
正题 定义卡特兰数的递推公式为h(0)=1,h(n)=∑i=0n−1h(i)h(n−i−1)∣(n≥1)h(0)=1,h(n)=\sum_{i=0}^{n-1}h(i)h(n-i-1)|(n\geq1)h(0)=1,h(n)=∑i=0n−1​h(i)h(n−i−1)∣(n≥1) 容易构造卡特兰数的生成函数F(x)=∑i=0h(i)xiF(x)=\sum_{i=0} h(i)x^iF(x)=∑i=0​h(i)xi 发现递推公式恰好可以写作为自卷积再上升一位，即F(x)=F2(x)x+1F(x)=F^2(x)x
Catalan数列的生成函数
人总是要有梦想的QAQ的博客
04-19 1008
组合基础1 组合数 二项式定理 卡特兰数 生成函数基础
myjs999的博客
04-21 1515
组合数 (nm)=n!m!(n−m)!\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(mn​)=m!(n−m)!n!​ 可用Lucas定理和扩展Lucas计算。同时也是一个mmm次多项式，可用多项式算法计算。 插板数 将nnn个无区别的人分为mmm个无区别的可空组有(n+m−1n)\binom{n+m-1}{n}(nn+m−1​)种方法。 二项式定理 (a+b)n=∑i=0n(n...
一些常见数列的生成函数推导
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11-14 1万+
曾经有人问过我：“斐波那契数列的生成函数长啥样？” 。。。所以这东西我还是写一发吧 它有什么用？它没啥用。。。1.齐次线性递推数列定义：给定常数k,a1,a2,...,ak,h0,h1,...,hk−1k,a_1,a_2,...,a_k,h_0,h_1,...,h_{k-1}，构造如下数列： hn={hna1hn−1+a2hn−2+...+akhn−kn<kn≥kh_n= \begin{c
卡特兰数推导
05-14
### 卡特兰数的推导过程和数学原理 #### 定义与背景 卡特兰数是一类经典的组合计数问题中的重要工具，其定义为满足特定条件下的排列或结构的数量。它通常表示为 \( h(n) \)，其中 \( n \) 是非负整数。 --- #### ...
16、二项式系数、生成函数与超几何函数的深入探索
最新发布
jenkins8butler的博客
10-27 17
本文深入探讨了二项式系数、生成函数与超几何函数之间的内在联系。从二项式系数的基本性质和递推关系出发，引入生成函数作为处理序列与组合恒等式的有力工具，展示了其在卷积、求和与封闭形式推导中的应用。进一步，通过将组合恒等式转化为超几何函数形式，建立了统一的分析框架，涵盖范德蒙德卷积、库默尔公式、狄克逊公式等重要结果，并讨论了退化情况的极限处理。文章还介绍了广义阶乘、伽马函数及特殊函数如卡特兰数与E_1(z)的应用，系统性地呈现了从经典组合数学到现代特殊函数理论的拓展路径。
生成函数，多项式算法与图的计数1
08-03
例如，若我们要计算有n个顶点的无环图（即树）的数量，可以使用卡特兰数或生成函数的方法。生成函数可以表示为 `(1 - x - x^2) / (1 - 4x + x^2)`，通过对这个函数进行解析或者利用递推关系，我们可以得到具体的计数...
生成函数的简单应用（卡特兰数、斐波那契数列的通项公式推导）
Qmj2333333的博客
02-24 2333
用生成函数求解递推关系： 常用的生成函数， 等差数列、斐波那契数列、其他常系数线性递推的例子， 卡特兰数
生成函数证明Catalan数
qq_43520313的博客
09-30 1169
C0=1C_0=1C0​=1 有递推式 Cn=∑i=0n−1CiCn−1−i C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i} Cn​=i=0∑n−1​Ci​Cn−1−i​ 设CnC_nCn​的生成函数为A=∑i=0∞CixiA=\sum_{i=0}^{\infty}C_ix^iA=∑i=0∞​Ci​xi，则 A2=∑i=0∞∑j=0iCiCi−jxi A^2=\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{i}C_iC_{i-j}x^i A2=i=0∑∞​j=0∑i​Ci​C
卡特兰数通项公式（母函数，牛顿展开）
a1035719430的博客
12-18 6188
组合意义非常显然，经典的路径问题。这里主要讨论母函数以及牛顿展开的证明。 考虑卡特兰数的递推式，发现这是一个卷积式 令f(x)f(x)f(x)为卡特兰数的生成函数 可以将递推式表示为 f(x)=x∗f(x)2+1 f(x)=x*f(x)^2+1 f(x)=x∗f(x)2+1 解得 f(x)=1±1−4x2x f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x} f(x)=2x1±1−4x...
bzoj4001概率论 卡特兰数+生成函数+导数
__surtr的博客
02-29 421
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int main(){ double n; cin >> n; printf("%.9lf\n", n*(n+1)/2/(2*n-1)); return 0; } 题解: 首先节点为nnn的二叉树个数, 卡特兰...
BZOJ 4001 TJOI 2015 概率论 卡特兰数 生成函数计数
とある黄鱼のOIブログ
03-24 2398
求随机有根二叉树的叶节点数的期望。令fif_i表示有ii个节点的二叉树的个数，显然f0=1f_0=1，且有递归定义 fi=∑i=0i−1fifn−i−1 f_i=\sum_{i=0}^{i-1}f_if_{n-i-1} 令gk=∑ki=0fifk−ig_k=\sum_{i=0}^{k}f_if_{k-i} 那么数列gg的生成函数即G(x)=F2(x)G(x)=F^2(x) 又fi=gi−1
卡特兰数-生成序列
fronde_wu的博客
03-22 402
1.括号生成 左边括号=右边括号=n 每个右边括号左边至少有一个左括号 def generate(n, left=0, right=0, result=''): if left + right == 2 * n: print result return if left < n: generate(left+1, right, n, result+'(') ...
I00020 计算卡特兰数函数
海岛Blog
06-04 2846
卡特兰数是组合数学中的一个重要概念。 卡特兰数可以解决以下四种典型的问题： 1.括号化问题 矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种) 2.出栈次序问题 一个无穷大堆栈的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 3.凸多边形三角划分问题 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
卡特兰数公式
Kawa103的博客
08-14 9737
公式： C(2n,n)/(n+1)   问题：若一序列进栈顺序为e1,e2,e3,e4,e5,问存在多少种可能的出栈序列  答案：42 f(0) = 1 f(5) = 42 f(5)=C(10,5)/6 = (10*9*8*7*6)/(5*4*3*2*1) / 6 = 42...
卡特兰数公式推导
lyc1635566ty的博客
06-26 1万+
卡特兰数最常见的描述就是2n个球进站出站有多少种顺序推导：折线法，问题转化为从(0,0)到(2n,0)(0,0)到(2n,0) 每次可以向右上或者右下走一波，问在不越过x=0x=0 这条线的情况下，有多少种走法。所以可以根据总数减去非法数总数很明显是cn2nc^{n}_{2n}非法数可以这样算。如果这个过程非法，这条线一定会碰到x=−1x=-1 这样我们可以取折线第一次喷到直线x=−1x=-1的点。
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