本文详细介绍了卡特兰数的递归式，并通过生成函数法求解出其通项公式。利用牛顿二项式定理进行展开，最终得出卡特兰数的通项公式为P(n)=n+1/(2n)，对于n≥0的情况，P(0)=1。
设法求解下面这个递归式或给出其最低上界的阶，设P(1)=1P(1)=1P(1)=1
P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k) P(n)=\sum^{n-1}_{k=1}P(k)P(n-k) P(n)=k=1∑n−1P(k)P(n−k)
易知P(n)P(n)P(n)就是卡特兰数，下面用生成函数法求解出其通项公式。
设生成函数为：
g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+... g(x)=h(1)x+h(2)x^2+...+h(k)x^k+... g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+...
将g(x)g(x)g(x)与自身相乘，得：
[g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+... [g(x)]^2=h(1)^2x^2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x^3+... \\ +[h(1)h(k-1)+h(2)h(k-2)+...+h(k-1)h(1)]x^k+... [g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+...
将P(n)P(n)P(n)的递归式带入，得：
[g(x)]2=h(2)x2+h(3)x3+...+h(k)xk=g(x)−h(1)x⇒[g(x)]2−g(x)+x=0⇒g1(x)=1+1−4x2,g2(x)=1−1−4x2 [g(x)]^2=h(2)x^2+h(3)x^3+...+h(k)x^k=g(x)-h(1)x \\ \Rightarrow [g(x)]^2-g(x)+x=0\\ \Rightarrow g_1(x)=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2},g_2(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2} [g(x)]2=h(2)x
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