卡特兰数通项公式详细推导过程

最新推荐文章于 2024-09-14 16:45:30 发布
原创 最新推荐文章于 2024-09-14 16:45:30 发布 · 7.1k 阅读 · 14 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

本文详细介绍了卡特兰数的递归式，并通过生成函数法求解出其通项公式。利用牛顿二项式定理进行展开，最终得出卡特兰数的通项公式为P(n)=n+1/(2n)，对于n≥0的情况，P(0)=1。

设法求解下面这个递归式或给出其最低上界的阶，设P(1)=1P(1)=1P(1)=1
P(n)=∑k=1n−1P(k)P(n−k) P(n)=\sum^{n-1}_{k=1}P(k)P(n-k) P(n)=k=1∑n−1​P(k)P(n−k)

易知P(n)P(n)P(n)就是卡特兰数，下面用生成函数法求解出其通项公式。

设生成函数为：
g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+... g(x)=h(1)x+h(2)x^2+...+h(k)x^k+... g(x)=h(1)x+h(2)x2+...+h(k)xk+...
将g(x)g(x)g(x)与自身相乘，得：
[g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+... [g(x)]^2=h(1)^2x^2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x^3+... \\ +[h(1)h(k-1)+h(2)h(k-2)+...+h(k-1)h(1)]x^k+... [g(x)]2=h(1)2x2+[h(1)h(2)+h(2)h(1)]x3+...+[h(1)h(k−1)+h(2)h(k−2)+...+h(k−1)h(1)]xk+...
将P(n)P(n)P(n)的递归式带入，得：
[g(x)]2=h(2)x2+h(3)x3+...+h(k)xk=g(x)−h(1)x⇒[g(x)]2−g(x)+x=0⇒g1(x)=1+1−4x2,g2(x)=1−1−4x2 [g(x)]^2=h(2)x^2+h(3)x^3+...+h(k)x^k=g(x)-h(1)x \\ \Rightarrow [g(x)]^2-g(x)+x=0\\ \Rightarrow g_1(x)=\frac{1+\sqrt{1-4x}}{2},g_2(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2} [g(x)]2=h(2)x

最低0.47元/天 解锁文章
算法基础 - 数论 | 组合数学 卡特兰数(Catalan number)定义、证明及例题
捡起一束光的博客
05-08 6830
2018.09 大三上 组合数学课堂讲义 文章目录Catalan数定义卡特兰数的性质卡特兰数证明（折线法）例：买票例：排队例：典型例题参考文献 Catalan数定义 卡特兰数的性质 （1）求组合数形式 Cn=(2nn)n+1 \begin{aligned} C_n =& \frac{\binom{2n}{n}}{n + 1} \end{aligned} Cn​=​n+1(n2n​)​...
卡特兰数的证明及应用
a2796749的专栏
08-12 6510
Catalan数的定义令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)*h(n-1) +h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2该递推关系的解为：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...（其中C(2n-2,n-1)表示2n-2个中取n-1个的组合数） 问题等价于：n个1和n个0组成一2n位的2进制数，要求从左到右扫描，1的累
Catalan数——卡特兰数
weixin_38166789的博客
05-03 495
一、Catalan数的定义 　　令h(0)=1，h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 　　该递推关系的解为：h(n) = C(2n,n)/(n+1)，n=0,1,2,3,... （其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数） 二、问题描述　　12...
卡特兰数公式推导
lyc1635566ty的博客
06-26 1万+
卡特兰数最常见的描述就是2n个球进站出站有多少种顺序推导：折线法，问题转化为从(0,0)到(2n,0)(0,0)到(2n,0) 每次可以向右上或者右下走一波，问在不越过x=0x=0 这条线的情况下，有多少种走法。所以可以根据总数减去非法数总数很明显是cn2nc^{n}_{2n}非法数可以这样算。如果这个过程非法，这条线一定会碰到x=−1x=-1 这样我们可以取折线第一次喷到直线x=−1x=-1的点。
卡特兰数相关及通项公式简单证明
良月澪二的博客
10-20 6979
卡特兰数通项公式推导，卡特兰数其他结论与性质
【知识总结】卡特兰数 (Catalan Number) 公式的推导
Inspector_Javert
04-12 9251
卡特兰数的英文维基讲得非常全面，强烈建议阅读！ Catalan number - Wikipedia (本文中图片也来源于这个页面) 由于本人太菜，这里只选取其中两个公式进行总结。 （似乎就是这两个比较常用？） 首先先扔卡特兰数的定义式 Catalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−iCatalann=∏i=1n−1Catalani∗Catalann−i...
5. 卡特兰数（Catalan）公式、证明、代码、典例.
热门推荐
Chilan_Yuk的博客
03-10 5万+
1. 定义 卡特兰数（卡塔兰数），英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。 其前几项为（从第零项开始） : C0 = 1, C1 = 1, C2 = 2, C3 = 5, C4 = 14, C5 = 42, C6 = 132, C7 = 429, ...
卡特兰数的推理
qq_64071349的博客
09-14 1274
卡特兰数的前几项为（从第0项开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, …。通项公式fnC2nnn1C2nn−C2nn−1fnn1C2nn​​C2nn​−C2nn−1​，其中C2nnC_{2n}^nC2nn​表示从2n个不同元素中取出n个元素的组合数。递推公式fn4n−2n1fn−1fnn14n−2​fn−1。
卡特兰数详讲
wookaikaiko的博客
07-18 4万+
点击打开参考原博客   一、关于卡特兰数        卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 656412...
Catalan数表达式完整推导
zorchp
07-22 3708
-
什么是卡特兰数及卡特兰数公式推导
wuxiaopengnihao1的博客
07-21 2696
我们会发现触碰到了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路径的终点都变成了点(n-1,n+1)。也就是说，从(0,0)点到(n,n)点的路线当中触碰了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路线条数与从(0,0)点到(n-1,n+1)点的路线条数的数量是相等的。而我们如果把触碰到了直线y=x+1y=x+1y=x+1的路线的第一个与y=x+1y=x+1y=x+1的触碰点之后的路线关于直线y=x+1y=x+1y=x+1对称，并画出对称后的路线。...
卡特兰数通项公式（母函数，牛顿展开）
a1035719430的博客
12-18 6194
组合意义非常显然，经典的路径问题。这里主要讨论母函数以及牛顿展开的证明。 考虑卡特兰数的递推式，发现这是一个卷积式 令f(x)f(x)f(x)为卡特兰数的生成函数 可以将递推式表示为 f(x)=x∗f(x)2+1 f(x)=x*f(x)^2+1 f(x)=x∗f(x)2+1 解得 f(x)=1±1−4x2x f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x} f(x)=2x1±1−4x...
卡特兰数 史上最全最详细讲解！
cz9797的博客
04-07 3万+
我是标题党！！ 卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。 即卡特兰数是符合以下公式的一个数列！ 公式（4个）： h(n)= ...
Catalan数的通项公式(母函数推导)
Cyhlnj
12-19 2086
首先 hn=∑ihihn−i−1h_n=\sum_{i}h_ih_{n-i-1}hn​=i∑​hi​hn−i−1​ 写出 hhh 的母函数 H(x)H(x)H(x) 那么 H(x)=H2(x)x+1,H(x)=1−1−4x2xH(x)=H^2(x)x+1,H(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}H(x)=H2(x)x+1,H(x)=2x1−1−4x​​ (解二元一次方程取符号时候...
卡特兰数生成函数推导
LeoJAM的博客
10-12 1467
这就是卡特兰数的定义。
卡特兰数推导
m0_55658303的博客
10-31 632
非法路径，根据设定，也即是我们穿过对角线的路径，根据示意图我们可以发现，非法路径必然和y=x+1这条直线有一交点，我们设为(a,a+1)点，由示意图2我们将非法路径(a,a+1)点之后的部分根据y=x+1对称过来,(n,n)点根据y=x+1的对称点为(n-1,n+1)。这样，所有的非法路径对称后都唯一对应一条从(0,0)到(n-1,n+1)的路径，这样就可以得出。以走网格为例,从格点(0,0)走到格点(n,n)，只能向右或向上走，并且不能越过对角线的路径的条数,就是卡特兰数,记为Hn。
Catalan数公式推导
touzani的专栏
05-15 7918
 如何把下列递归公式 { f(0)=f(1)=1 } f(n)=f(0)*f(n-1-0)+f(1)*(n-1-1)+f(2)*f(n-1-2)+....+f(n-1-0)*f(0) 转化为 f(n)= C(2n,n)/(n+1) 可以利用母函数（发生函数） 令G(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+... 那么递归公式左边就是G(x)的n次项系数。右
Catalan数推导及应用
ACdreamer
06-03 1万+
一、Catalan数的定义：       令h(1)=1，Catalan数满足递归式：h(n) = h(1)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1)，n>=2该递推关系的解为：h(n) = C(2n-2,n-1)/n，n=1,2,3,...       h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+....+h(n-1)*h(0)=C(2n,
卡特兰数
Dashi_Lu的博客
05-11 2158
什么是卡特兰数？ 卡特兰(Catalan)数来源于卡特兰解决凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn，在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法，堪称计算的映射典范的典范． 卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42,132, 429, 1430, 4862, 1679...
卡特兰数通项公式
最新发布
08-22
卡特兰数的通项公式是组合数学中的经典内容，可以通过多种方式推导得到。以下是卡特兰数的几个等价表达式： ### 卡特兰数的通项公式 1. 最常见的形式是基于二项式系数的表示： $$ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $$ 其中 $ \binom{2n}{n} $ 是从 $ 2n $ 个元素中选择 $ n $ 个元素的组合数。 2. 另一个等价的表达式是： $$ C_n = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1} $$ 这表示从 $ 2n $ 个元素中选择 $ n $ 个元素的组合数减去选择 $ n-1 $ 个元素的组合数，其差值即为第 $ n $ 个卡特兰数 [^1]。 3. 卡特兰数也可以通过递推公式表示： $$ C_0 = 1, \quad C_n = \frac{2(2n-1)}{n+1} C_{n-1} $$ 这个递推关系使得可以通过前一个卡特兰数快速计算出当前值 。 ### 推导方法 卡特兰数的推导可以通过不同的方法实现，以下是基于组合数的推导过程： 1. **组合数形式的推导**： - 首先明确目标公式： $ C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $。 - 将组合数 $ \binom{2n}{n} $ 表示为阶乘形式： $ \frac{(2n)!}{n!n!} $。 - 提取公因式 $ \frac{(2n)!}{n!(n-1)!} $，并将其与 $ \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $ 相乘。 - 通分后可以配凑出目标公式 $ \frac{1}{n+1} \frac{(2n)!}{n!n!} $，即 $ \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n} $ [^2]。 2. **折线法的几何推导**： - 使用几何方法，考虑从原点 $ (0, 0) $ 到点 $ (n, n) $ 的路径，其中每一步只能向右或向上。 - 合法路径不能越过对角线 $ y = x $，而非法路径可以通过对称变换转换为从原点到 $ (n-1, n+1) $ 的路径。 - 合法路径数等于总路径数减去非法路径数，即 $ \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n-1} $，从而得到卡特兰数 [^1]。 ### 示例代码 以下是一个计算卡特兰数的 Python 示例： ```python def catalan_number(n): # 计算组合数 C(2n, n) def comb(n, k): from math import comb return comb(2 * n, n) return comb(n, n) // (n + 1) # 计算前10个卡特兰数 for i in range(10): print(f"C_{i} = {catalan_number(i)}") ``` ###
评论 2
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值