将n个小球放入n个桶中，球最多的桶的期望球个数。

本质来讲，这也可以看做对于一个n元素哈希表插入n个项的最长哈希链长度期望的计算。
先说结论：
$$O(\frac{\ln n}{\ln \ln n})$$
证明分四步走：

1. 定义事件$A_k$为对于特定一个桶，刚好放有k个球的概率。

$$P[A_k]=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot (\frac{1}{n}{)}^k\cdot (1-\frac{1}{n}{)}^{n-k}$$

2. 定义事件$X_k$为球最多的桶的球个数恰好为k、事件$B_{i,k}$为恰好为i号桶球最多，并且球有k个。

可知：
$$X_k=\bigcup _i{B}_{i,k}$$
显然，可以推得：
$$P[X_k]\le \sum _{i}P[B_{i,k}]$$
这是因为等号只会发生在事件B两两互斥时，其余情况概率会更小。
由此有：
$$P[X_k]\le n\cdot P[B_{1,k}]$$
注意到：
$$P[B_{1,k}]\le P[A_k]$$
这是因为事件$A_k$仅满足特定桶有k个，但不保证其余桶少于k个，所以概率更大。
由此得到重要结论：
$$P[X_k]\le n\cdot P[A_k]$$

3. 证明 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)<{\frac{(en)}{k}}^k$

这个是斯特林公式的二级结论，此处不再多加赘述。回代本公式到上方结论可以得到：
$$P[X_k]<n\cdot (\frac{e}{k}{)}^k$$
由于$(1-\frac{1}{n}{)}^{n-k}<1$，所以略去。
此时构造：
$$c=\frac{3\ln \ln n}{\ln \ln n-\ln \ln \ln n},K_0=\frac{c\ln n}{\ln \ln n}$$
注意到当$\forall k>K_0$有
$$(\frac{e}{k}{)}^k<\frac{1}{n^3}$$

4. 证明$E[X_k]\le (K_0\cdot P[X\le K_0]+n\cdot P[X>K_0])$

这不难证明，因为$E[X_k]={\sum }_i\cdot P[X_i]$ 这就是把前面小于$K_0$的乘上最大的$K_0$，后面的乘上范围最大的值n。
再次放缩：$P[X\le K_0]<1$ 且 $P[X>K_0]<(n-K_0)\cdot n\cdot (\frac{e}{k}{)}^k<\frac{1}{n}$
带回有：
$$E[X_k]<K_0+1$$
$$E[X_k]<\frac{c\ln n}{\ln \ln n}+1$$
$$E[X_k]=O(\frac{\ln n}{\ln \ln n})$$