关于FIR的一些疑惑

关于FIR的一些疑惑

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什么是群延时？

参考：

1、https://blog.youkuaiyun.com/s09094031/article/details/83755663

2、https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41048094/article/details/139347055

群延迟（Group Delay）是相位响应的负导数（瞬时斜率负值），表示信号各频率分量通过滤波器时的延迟时间。

FIR（有限冲激响应）滤波器在设计得当的情况下，通常可以实现线性相位响应，线性相位滤波器在信号处理中的一个关键优势是它能够对输入信号施加一个恒定的群延迟（群延迟定义为相位响应的一阶导数，表示信号通过滤波器时所有频率成分的延迟是相等的）。这样，经过滤波后的信号在时间上只是整体移动了一下，信号的形状和特征不会改变。

线性相位特性：线性相位FIR滤波器具有对称或反对称的脉冲响应，这种对称性使得滤波器的相位响应是线性的，因此群延迟是恒定的。

群延迟定义：群延迟是相位响应的负导数。对于线性相位滤波器，相位响应是频率的线性函数，因此其导数是常数，表明群延迟是恒定的。

设计考虑：在设计FIR滤波器时，通常会选择使其具有线性相位特性的滤波器系数排列（如对称或反对称），以确保群延迟恒定。

一般来说，滤波器的长度（即滤波器系数的数量）确实会影响群延迟，但不一定总是越长的滤波器群延迟就越大。具体情况取决于滤波器的设计和类型。以下是一些详细解释：

FIR滤波器（有限脉冲响应滤波器） ：

对于线性相位的FIR滤波器，群延迟是常数，其值等于滤波器阶数的一半（即滤波器系数个数减一再除以二）。
例如，一个长度为N的线性相位FIR滤波器的群延迟大约为(𝑁−1)/2个样本。因此，对于FIR滤波器，滤波系数越长，群延迟确实越大。
IIR滤波器（无限脉冲响应滤波器） ：

IIR滤波器的群延迟不是常数，而是随频率变化的。滤波器的阶数（即反馈和前馈系数的数量）会影响群延迟的特性，但不如FIR滤波器那么直接。
设计不当的高阶IIR滤波器可能在某些频率下具有较大的群延迟，但这不意味着滤波系数越长群延迟就越大，需要具体分析频率响应和相位响应。

第二篇文章解释的较为清晰明了，通过配图能够很好的了解

关于FIR

知乎https://www.zhihu.com/question/323353814/answer/2708545913

写的很好，忍不住多摘录一些。

仿真生成了两段信号。其中一条是未加入噪声的纯净信号，另外一条是加入白噪声后的含噪声信号。其中纯净信号使用了一段正弦信号。

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从上图容易看出，含噪声信号是在纯净信号上下波动的，所以很容易想到，如果取某几个含噪声信号的平均值，作为滤波结果，则可以抵消掉噪声在上下随机波动中的干扰效果。每3个点做一次平均：动图见原文，很好理解

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图2. 每三个红点求平均得到一个蓝点

能够看出，经过该方法处理后的数据相对于纯净信号的波动幅值得到了一定程度的抑制，也就是可以取得一定程度的滤波效果。

这是一种最简单的FIR滤波器，也可以叫做滑动平均滤波方法。

上边讲到的滑动平均，是将3个相邻信号求取平均值，这也可以理解为这3个值分别乘以权重系数1/3再求和，那么上述滤波过程可以用下边这张动图来演示，应该是比较直观的了：

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图3. 选取了前10个数据点作为演示

看到这里大家想到什么了吗。是的——是卷积。

卷积看的比较多了，就不再摘录了，但是文章内对卷积的描述也是非常到位的。可以看一下加深理解。

文中有关于卷积的实现过程，直观的做一下对比后可以发现卷积与滑动操作的关系。

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滤波过程：设计一个频域滤波器（将想要保留的频率段赋值为1，其他频率段赋值为0），将其与含噪声信号的频谱在频域上相乘，再将乘积做傅里叶逆变换，即可实现滤波，这种滤波器叫频域滤波器。

时域的卷积等于频域相乘！

所以，上述在频域空间的一大堆操作，可以简单地转化成在频域上的卷积操作，具体来说，就是将含噪声信号与低通滤波器的傅里叶逆变换值进行卷积，这个过程就是FIR滤波。

我用一张图表示他们之间的关系：

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图15. FIR滤波器实现逻辑

FIR滤波器的本质是设计一组系数，这组系数实际就是滤波器的IFFT（还记得张三的鼓包吗）离散化以后的结果。

关于卷积的新发现

知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/526705694

挨板子，打耳光都是一个意思，这个文章里的配图比较直观，但是，那个翻转的操作，着实得理解一番。

归一化频率

在 FIR（有限脉冲响应）滤波器中，归一化频率是指将实际频率转换为无单位的相对单位。归一化频率范围从0到1，其中0对应于0 Hz，1对应于采样率的一半。

归一化频率的计算方法如下：

归一化频率 = 实际频率 / (采样率/2)

其中，实际频率是指滤波器中的信号频率，采样率是指采样过程中每秒钟的采样数。

归一化频率的作用在于使得滤波器设计过程中的频率参数变得无单位，可以更方便地进行滤波器设计和分析。

为什么是采样率的一半？

归一化频率选择采样率的一半 (也称为 奈奎斯特频率，Nyquist frequency) 作为归一化频率的上限，而不是全部采样率，主要是基于信号采样理论的限制。具体原因如下：

1. 奈奎斯特定理

奈奎斯特定理指出，为了准确地从采样信号中还原原始信号，信号的最高频率（即带宽）必须小于或等于采样率的一半。这意味着任何高于采样率一半的频率都会导致 混叠效应(aliasing)，即高频信号会与低频信号重叠，导致失真。

因此，当我们对信号进行采样时，频率的有效范围限制在 0 Hz 到采样率的一半*之间，即从0到 奈奎斯特频率。归一化频率将0 Hz对应为0，将奈奎斯特频率对应为1，因此频率范围就在0到1之间。

2.避免混叠：

由于采样率一半（奈奎斯特频率）是避免混叠的上限，将频率归一化到采样率的一半有助于确保设计的滤波器不会影响到超过该频率的频率成分。在频率范围0到1之间（即0 Hz到奈奎斯特频率），设计的滤波器可以避免混叠效应，确保滤波器的工作在信号频率的有效范围内。

3.简化滤波器设计：

将采样率的一半作为归一化频率的上限，可以使滤波器设计过程更加简洁和通用。设计滤波器时，只需要考虑0到1之间的归一化频率，而不必处理更高频率的无效区域。这简化了频率响应曲线的设计与计算。