群延迟函数(group delay function)&群延迟滤波器

            最近看了许多介绍Group delay function的论文，文章中大篇幅提到Group delay，group delay of digital filters,对这个方面的知识好像还挺有用的，所以想把它记录下来。然后总结下计算Group delay function的步骤。

           假设有N个样本的脉冲响应为h(n)的数字滤波器，n为时间序列标号，对该数字滤波器进行离散时间傅里叶变换(discrete-time Fourier transform (DTFT)),H(ω),用极点的方式表示如下：

      (1)

在公式(1), M(ω) 是滤波器的频幅响应, Φ(ω) 是滤波器的相频响应 ， ω 是连续的角频率，单位为弧度每秒rad/s ,用H(ω)对 ω求导, 得到如下的等式:

      (2)

用公式 (2) 除以M(ω), 写成如下的形式：

      (3)

对公式(3)的右边第一项进行求导展开，得到如下的形式：

      (4)

对等式(4)两边同时除以j/e^{jΦ(ω) 得到如下等式：}

      (5)

从上面的等式(5)我们能得到什么呢？通过观察，我们发现如下熟悉的项：

• jd[H(ω)]/dω = n·h(n) 的DTFT
• M(ω)•e^jΦ(ω) =H(ω) =h(n) DDTFT
• –d[Φ(ω)]/dω = 群延迟滤波器(group delay of the filter )

 现在可以把上面的公式改成更直观的形式：

       (6)

用DFT代替DTFT可以得到计算群延迟数字滤波器的公式：

      (7)

从上面的公式看出，计算群延迟滤波器的过程。公式（7）是传统群延迟算法对相位进行解卷的过程。需要注意的是DFT[h(n)]值为0的情况。

下面用Matlab演示公式 (7)的计算过程：

 

clear, clc
Npts = 128;  % 画图点数
  B = [0.03, 0.0605, 0.121, 0.0605, 0.03]; 
  A = [1, -1.194, 0.436];  

  Imp_Resp_Length = 40;
  [Imp_Resp,n] = impz(B,A,Imp_Resp_Length);
  ImpResp_times_Time = Imp_Resp.*n;
  [Freq_Resp, W] = freqz(Imp_Resp, 1, Npts, 'whole');
  [Deriv_of_Freq_Resp, W] = freqz(ImpResp_times_Time, ...
      1, Npts, 'whole');
  
  Grp_Delay = real(Deriv_of_Freq_Resp./Freq_Resp);
%[gdm, fgm] = grpdelay(B,A,Npts,'whole');gdm=Grp_Delay,w=fgm(rad) % Compute Group Delay
  Grp_Delay = fftshift(Grp_Delay);% 将序列中后半部分循环移动到前面
  Freq = (W-pi)/(2*pi);  % 频率轴
  figure(1), clf
  subplot(2,1,1)
  plot(n, Imp_Resp, '-ks', ...
        n, ImpResp_times_Time, '-bs', 'markersize', 4)
  legend('h(n)','n times h(n)');
  ylabel('Amplitude'), xlabel('n'), grid on, zoom on
  subplot(2,1,2)
  plot(Freq, Grp_Delay,'-rs', 'markersize', 4)
  ylabel('Group Delay (samples)')
  xlabel('Freq x Fs   (Fs = sample rate)')
  grid on, zoom on