【XSY2470】lcm 数学

该博客介绍了如何解决一类数学问题,即求解t组询问中每组n的k个正整数乘积的最小公倍数之和。博主探讨了线性筛和预处理phi函数的方法,以及利用枚举因子来优化时间复杂度,提出了O(nlogn)和O(n+tn√)两种解决方案。

题目大意

  t组询问, 每组询问给定n,求nk=1[n,k],其中[a,b]表示ab的最小公倍数 .

  t300000,n1000000

题解

k=1n[k,n]=nk=1nk(k,n)=np|n1pk=1nk[(k,n)=p]=np|nk=1npk[(k,np)=1]=np|nnpϕ(np)+[np=1]2=np|npϕ(p)+[p=1]2

  用线性筛或者其他方法处理出ϕ函数,调和级数的复杂度预处理,每次查表。或者枚举因子。

  时间复杂度:O(nlogn)O(n+tn)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int miu[1000010];
int phi[1000010];
int p[1000010];
int b[1000010];
ll e[1000010];
ll f[1000010];
int cnt;
int maxn=1000000;
map<int,ll> d;
void init()
{
    memset(b,0,sizeof b);
    int i,j;
    cnt=0;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=maxn;j++)
        {
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                miu[i*p[j]]=0;
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            miu[i*p[j]]=-miu[i];
            phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
    e[1]=1;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
        e[i]=(ll(i)*phi[i])/2;
    for(i=1;i<=maxn;i++)
        for(j=i;j<=maxn;j+=i)
            f[j]+=e[i];
}
void solve()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%lld\n",f[n]*n);
}
int main()
{
//  freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("a.out","w",stdout);
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
        solve();
    return 0;
}
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