【XSY2470】lcm 数学

最新推荐文章于 2021-11-01 23:04:07 发布

ez_yww

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分类专栏：数学&数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ez_yww/article/details/77922114

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该博客介绍了如何解决一类数学问题，即求解t组询问中每组n的k个正整数乘积的最小公倍数之和。博主探讨了线性筛和预处理phi函数的方法，以及利用枚举因子来优化时间复杂度，提出了O(nlogn)和O(n+tn√)两种解决方案。

题目大意

　　 $t$ 组询问, 每组询问给定 $n$ ，求 $\sum_{k=1}^n[n,k]$ ，其中 $[a,b]$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数 .

　　 $t\leq 300000,n\leq 1000000$

题解

\sum k = 1 n [k, n] = n \sum k = 1 n k ( k , n ) = n \sum p | n 1 p \sum k = 1 n k [(k, n) = p] = n \sum p | n \sum k = 1 ⌊ n p ⌋ k [(k, n p) = 1] = n \sum p | n n p ϕ ( n p ) + [ n p = 1 ] 2 = n \sum p | n p ϕ ( p ) + [ p = 1 ] 2

$\begin{align} \sum_{k=1}^n[k,n]&=n\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k,n)}\\ &=n\sum_{p|n}\frac{1}{p}\sum_{k=1}^nk[(k,n)=p]\\ &=n\sum_{p|n}\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}k[(k,\frac{n}{p})=1]\\ &=n\sum_{p|n}\frac{\frac{n}{p}\phi(\frac{n}{p})+[\frac{n}{p}=1]}{2}\\ &=n\sum_{p|n}\frac{p\phi(p)+[p=1]}{2} \end{align}$

　　用线性筛或者其他方法处理出 $\phi$ 函数，调和级数的复杂度预处理，每次查表。或者枚举因子。

　　时间复杂度： $O(nlogn)$ 或 $O(n+t\sqrt{n})$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int miu[1000010];
int phi[1000010];
int p[1000010];
int b[1000010];
ll e[1000010];
ll f[1000010];
int cnt;
int maxn=1000000;
map<int,ll> d;
void init()
{
    memset(b,0,sizeof b);
    int i,j;
    cnt=0;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(!b[i])
        {
            p[++cnt]=i;
            miu[i]=-1;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=maxn;j++)
        {
            b[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)
            {
                miu[i*p[j]]=0;
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            miu[i*p[j]]=-miu[i];
            phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
    e[1]=1;
    for(i=2;i<=maxn;i++)
        e[i]=(ll(i)*phi[i])/2;
    for(i=1;i<=maxn;i++)
        for(j=i;j<=maxn;j+=i)
            f[j]+=e[i];
}
void solve()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("%lld\n",f[n]*n);
}
int main()
{
//  freopen("a.in","r",stdin);
//  freopen("a.out","w",stdout);
    init();
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
        solve();
    return 0;
}