卢卡斯定理&扩展卢卡斯定理

卢卡斯定理

求$C_m^n~mod~p$
设$m={a_0}^{p_0}+{a_1}^{p_1}+\cdots+{a_k}^{p_k},n={b_0}^{p_0}+{b_1}^{p_1}+\cdots+{b_k}^{p_k}$
则$C_m^n\equiv\prod{C_{a_i}^{b_i}}(mod~p)$

扩展卢卡斯定理

好像这也不是什么定理，只是一个计算方法
计算$C_m^n~mod~p$，其中$p={p_1}^{q_1}\times{p_2}^{q_2}\times\cdots{p_k}^{q_k}$时，我们可以先求出$C_m^n~mod~{p_i}^{q_i}$，然后用CRT合并。
那么怎么计算$C_m^n~mod~{p_i}^{q_i}$呢？
$C_m^n=\frac{m!}{n!(m-n)!}$，我们只需要算出$m!,{n!}^{-1},{(m-n)!}^{-1}$，然后乘在一起。
zjt大爷：$n!$可能在模${p_i}^{q_i}$的意义下没有逆元啊，那这就是错的了啊
其实这里求得不是逆元（可能没有逆元），求出来的是$a\times {p_i}^b(gcd(a,p)=1)$，前面的$a$用逆元，后面的次数加加减减一下就好了
问题转换成求$n!~mod~p^q$
例如$n=19,p=3,q=2$：

$$19!$$
$$=1\times2\times3\times\cdots\times19$$
$$=(1\times2\times4\times5\times7\times8\cdots\times16\times17\times19)\times(3\times6\times9\times12\times15\times18)$$
$$=(1\times2\times4\times5\times7\times8\cdots\times16\times17)\times19\times3^6\times(1\times2\times3\times4\times5\times6)$$
$$={(1\times2\times4\times5\times7\times8)}^2\times19\times3^6\times(1\times2\times3\times4\times5\times6)$$
上面这个式子分为四部分：
第一部分：${(1\times2\times4\times5\times7\times8)}^2$。这部分的数不超过$p^q$个，可以暴力算
第二部分：$19$。这部分的数不超过$p^q$个，可以暴力算
第三部分：$3^6$。这个在最后处理时求出$m!,n!,(m-n)!$分别有多少个$p$（设为$x,y,z$），则答案要乘上$p^{x-y-z}$
第四部分：$1\times2\times3\times4\times5\times6$。这个是$\lfloor\frac{n}{p}\rfloor!$，可以递归处理