拓展卢卡斯定理

再看下面讲解之前,请大家熟悉一下乘法逆元中国剩余定理拓展gcd费马小定理
关于拓展卢卡斯,也就是卢卡斯的升级版,卢卡斯限定只能取余一个素数,而拓展卢卡斯则没有限定
其求解方法如下:

若不是素数,将p分解质因数,将C(n,m)分别按照Lucas定理中的方法求对p的质因数的模,然后用中国剩余定理合并。比如计算C(10,3)%14。C(10,3)=120,14有两个质因数2和7,120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案,即C(10,3)%14=8。注意,这里只适用于p分解完质因数后每个质因数只出现一次,例如12=2*2*3就不行,因为2出现了两次。若p分解完质因数后,含有某个质因数出现多次,比如C(10,3)%98,其中98=2*7*7,此时就要把7*7看做一个数,即:120%2=0,120%49=22,用(2,0)(49,22)和中国剩余定理得到答案22,即C(10,3)%98=22。此时,你又会有疑问,C(10,3)%49不也是模一个非素数吗?此时不同的是这个非素数不是一般的非素数,而是某个素数的某次方。


如何计算C(n,m)%p^t(t>=2,p为素数)。
计算C(n,m)%p^t。我们知道,C(n,m)=n!/m!/(n-m)!,若我们可以计算出n!%p^t,我们就能计算出m!%p^t以及(n-m)!%p^t。我们不妨设x=n!%p^t,y=m!%p^t,z=(n-m)!%p^t,那么答案就是x*reverse(y,p^t)*reverse(z,p^t)(reverse(a,b)计算a对b的乘法逆元)。那么下面问题就转化成如何计算n!%p^t。比如p=3,t=2,n=19,
n!=1*2*3*4*5*6*7*8* ……*19
=[1*2*4*5*7*8*… 16*17*19](3*6*9*12*15*18)
=[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*3^6(1*2*3*4*5*6)
然后发现后面的是(n/p)!,于是递归即可。前半部分是以p^t为周期的[1*2*4*5*7*8]=[10*11*13*14*16*17](mod 9)。下面是孤立的19,可以知道孤立出来的长度不超过 p^t,于是暴力即可。那么最后剩下的3^6啊这些数怎么办呢?我们只要计算出n!,m!,(n-m)!里含有多少个p(不妨设a,b,c),那么a-b-c就是C(n,m)中p的个数,直接算一下就行。
至此整个计算C(n,m)%p(p为任意数)的问题完美解决。

编程实现如下:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll quick_mod(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=1ll;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%m;
        b>>=1;
        a=a*a%m;
    }
    return ans;
}

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(a%b==0){
        x=0ll;y=1ll;
        return b;
    }
    ll v,tx,ty;
    v=exgcd(b,a%b,tx,ty);
    x=ty;
    y=tx-a/b*ty;
    return v;
}

ll inv(ll a,ll p){
    if(!a) return 0ll;
    ll x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    x=(x%p+p)%p;
    return x;
}

ll Mul(ll n,ll pi,ll pk){
    if(!n) return 1ll;
    ll ans=1ll;
    for(ll i=2;i<=pk;i++)
        if(i%pi) ans=ans*i%pk;
    ans=quick_mod(ans,n/pk,pk);
    for(ll i=2;i<=n%pk;i++){
        if(i%pi) ans=ans*i%pk;
    }
    return ans*Mul(n/pi,pi,pk)%pk;
}

ll exlucas(ll n,ll m,ll p,ll pi,ll pk){
    if(m>n) return 0ll;
    ll a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk);
    ll k=0ll,ans=0ll;
    for(ll i=n;i;i/=pi) k+=i/pi;
    for(ll i=m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    for(ll i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi;
    ans=a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*quick_mod(pi,k,pk)%pk;
    return ans*(p/pk)%p*inv(p/pk,pk)%p;     //中国剩余定理  a[i]*M*x  余数*其他个个素数的乘积*x
}

int main()
{
    ll n,m,p,ans=0;
    while(cin>>n>>m>>p){
        for(ll x=p,i=2;i<=p;i++){
            if(x%i==0){
                ll pk=1ll;
                while(x%i==0) pk*=i,x/=i;
                ans=(ans+exlucas(n,m,p,i,pk))%p;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
        ans=0;
    }
    return 0;
}

### 卢卡斯定理详解及其在算法中的应用 卢卡斯定理(Lucas Theorem)是一种用于计算组合数模一个素数的方法,特别适用于当模数 $ p $ 是一个质数的情况。该定理由数学家 **Édouard Lucas** 提出,广泛应用于组合数学和计算机科学中的算法设计与分析。 #### 定义与公式 卢卡斯定理的核心思想是将大数的组合数问题分解为多个小规模的问题,从而简化计算。具体来说,设 $ n $ 和 $ m $ 为非负整数,并且 $ p $ 是一个质数。将 $ n $ 和 $ m $ 分别以 $ p $ 为基数展开: $$ n = n_k p^k + n_{k-1} p^{k-1} + \cdots + n_0, \quad m = m_k p^k + m_{k-1} p^{k-1} + \cdots + m_0 $$ 则根据卢卡斯定理,有: $$ C_n^m \equiv \prod_{i=0}^k C_{n_i}^{m_i} \mod p $$ 其中,$ C_{n_i}^{m_i} $ 表示从 $ n_i $ 中选取 $ m_i $ 个元素的组合数。如果某个 $ m_i > n_i $,则对应的 $ C_{n_i}^{m_i} \equiv 0 \mod p $ [^2]。 #### 应用场景 卢卡斯定理的主要应用场景包括: 1. **组合数取模问题**:当 $ p $ 是质数时,直接使用卢卡斯定理可以高效地计算 $ C_n^m \mod p $。 2. **算法竞赛**:在编程竞赛中,许多题目涉及大范围组合数取模,而卢卡斯定理能够显著降低计算复杂度。 3. **密码学**:某些加密算法需要计算特定条件下的组合数,此时卢卡斯定理提供了高效的解决方案。 #### 扩展卢卡斯定理 扩展卢卡斯定理(ExLucas Theorem)是对传统卢卡斯定理的进一步推广,适用于模数 $ P $ 不是质数的情况。其核心思想是将模数 $ P $ 分解为多个互不相同的质因子幂次的乘积,并分别计算组合数对每个质因子幂次取模的结果,最后通过中国剩余定理合并结果 [^4]。 ##### 时间复杂度 对于扩展卢卡斯定理,其时间复杂度大约为 $ O(p + \log^2 n) $,其中 $ p $ 是模数的质因子相关参数。虽然这是最坏情况下的复杂度,但在实际应用中通常远低于此值 [^4]。 #### 示例代码 以下是一个简单的实现,展示如何利用卢卡斯定理计算组合数模 $ p $ 的值: ```python def modinv(a, p): """求a在模p意义下的逆元""" return pow(a, p - 2, p) def comb_mod(n, m, p): """计算C(n, m) % p,其中p为质数""" if m == 0: return 1 # 计算C(n // p, m // p) * C(n % p, m % p) % p return (comb_mod(n // p, m // p, p) * comb_mod(n % p, m % p, p)) % p # 示例调用 print(comb_mod(10, 3, 7)) # 输出结果为 6 ``` #### 算法优化技巧 1. **预处理阶乘和逆元**:为了提高效率,可以在计算前预先处理所有可能用到的阶乘和逆元,这样可以避免重复计算 [^3]。 2. **分治策略**:对于较大的 $ n $ 和 $ m $,采用分治策略递归地解决问题,有助于减少计算量 [^2]。 #### 相关问题 1. 如何实现扩展卢卡斯定理? 2. 卢卡斯定理的时间复杂度是多少? 3. 在什么情况下使用卢卡斯定理会更有效? 4. 如何处理模数不是质数的情况?
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