20、Ruby 数据结构与算法：二叉搜索与 AVL 树详解

Ruby 数据结构与算法：二叉搜索与 AVL 树详解

1. 二叉搜索算法

二叉搜索是一种用于搜索有序列表的高效算法。通过考虑每个顶点成为二叉搜索目标的可能性相同，并计算到达每个顶点的平均路径长度，我们可以得出在成功和不成功搜索的情况下，平均复杂度约为 $O(\lg n)$。这意味着在平均情况和最坏情况下，二叉搜索进行的比较次数为 $O(\lg n)$，表现非常出色。

下面我们来看一下不同情况下搜索百万元素数组时，二叉搜索所需的比较次数：
| 情况 | 比较次数 |
| ---- | ---- |
| 最好情况 | 1 次 |
| 最坏情况 | $\lfloor\lg 1000000\rfloor + 1 = 20$ 次 |
| 平均情况 | 约 $\lfloor\lg 1000000\rfloor = 19$ 次 |

2. 二叉搜索树

2.1 定义

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其每个顶点的值都大于其左子树中的所有值，并且小于其右子树中的所有值。这种特性使得我们可以按顺序遍历二叉搜索树，从而以排序顺序访问顶点中的值。

不过，二叉搜索树可能并不平衡，其高度可能大于 $\lfloor\lg n\rfloor$。例如，除了一个顶点外，每个顶点都只有一个子节点的二叉搜索树，其高度为 $n - 1$。

2.2 操作

与大多数集合不同，二叉搜索树在插入、删除和搜索元素方面都非常快速（前提是树不会变得过高过瘦）。以下是二叉搜索树的两个基本操作：
- add(t, v) ：将值 $v$ 放入一个新的顶点，并将