67、经济中多项式方程所有解的计算方法解析

经济中多项式方程所有解的计算方法解析

在经济模型的研究中，求解多项式方程的所有解是一个重要的问题。本文将介绍如何运用 Gröbner 基来解决经济模型中的多项式方程求解问题，并简要提及全解同伦方法。

1. 参数化形状引理与计算机代数系统

在处理多项式方程时，我们可以引入参数。以一个具体的例子来说明，我们将最后一个方程中 $x$ 项的系数设为自由参数 $e$，即最后一个方程变为 $ex + yz^9 = 0$。

在 Singular 中，我们需要在开始时声明参数和环，代码如下：

ring R=(0,e),(x,y,z),lp;
ideal I=(
x-y*z**3-2*z**3+1,
-x+y*z-3*z+4,
e*x+y*z**9);
ideal G=groebner(I);
G;

得到的 Gröbner 基如下：

G[1]=2*z11+3*z9-5*z8+(5e)*z3+(-4e)*z2+(-e)
G[2]=(-e2-e)*y+(-8e-10)*z10+(-10e-15)*z8+(20e+25)*z7
(+5e)*z6+(-5e)*z5
+(5e)*z4+(-5e)*z3+(-20e2-20e)*z2+(16e2+15e)*z
(+3e2+3e)
G[3]=(-e-1)*x+2*z9+5*z7-5*z6+5*z5-5*z4+5*z3-5*z2-1

根据笛卡尔法则，对于所有参数 $e > 0$，$z$ 的非零实解数量不超过 3