11、3D 世界中的向量运算与图形渲染

3D 世界中的向量运算与图形渲染

1. 向量叉积的长度

当输入向量位于两个坐标轴上时，很容易找到它们叉积所指的精确方向，即沿着剩余坐标轴的两个方向之一。一般来说，在不计算叉积的情况下，很难描述与两个向量垂直的方向，而一旦掌握了计算方法，叉积就会变得非常有用。此外，向量不仅指定方向，还指定长度，叉积的长度也包含着有用的信息。

叉积的长度与点积类似，是一个能反映输入向量相对位置的数值。它并非衡量两个向量的对齐程度，而是更接近“它们的垂直程度”。具体而言，它表示两个输入向量所张成的平行四边形的面积。

例如，若向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 所围成的平行四边形，其面积就等于叉积 $\vec{u} \times \vec{v}$ 的长度。对于给定长度的两个向量，当它们相互垂直时，所张成的面积最大；而当 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 方向相同时，它们不张成任何面积，此时叉积的长度为零。这是合理的，因为当两个输入向量平行时，无法选择唯一的垂直方向。

平行四边形面积的三角函数公式为：若 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 之间的夹角为 $\theta$，则面积为 $|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\theta)$。我们可以将长度和方向结合起来，得到一些简单的叉积结果。

例如，求向量 $(0, 2, 0)$ 和 $(0, 0, -2)$ 的叉积。这两个向量分别位于 $y$ 轴和 $z$ 轴上，为了与它们都垂直，叉积必须位于 $x$ 轴上。我们使用右手定则来确定结果的方向：将右手食指指向第一个向量的方向（正 $y$ 方向），然后将手指弯曲向第二个向量的方向（负 $z$ 方向），此