3、聚类理论与偏序集相关知识解析

聚类理论与偏序集相关知识解析

1. 贝尔数（Bell numbers）

贝尔数 (B_n) 表示包含 (n) 个对象的集合的所有划分的总数，其计算公式为 (B_n = \sum_{k = 1}^{n}S(n, k))。例如，当 (n = 4) 时，有 7 个包含两个块的划分、1 个包含一个块的划分、1 个包含 4 个块的划分以及 6 个包含 3 个块的划分，所以 (B_4 = 1 + 7 + 6 + 1 = 15)。以下是前 10 个贝尔数的值：
| (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| — | — | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| (B_n) | 1 | 2 | 5 | 15 | 52 | 203 | 877 | 4140 | 21147 | 115975 |

2. 偏序集（Partially Ordered Sets）

• 定义 ：若关系 (\rho) 在集合 (S) 上是自反的、反对称的和传递的，则 (\rho) 是 (S) 上的一个偏序。偏序集是一个二元组 ((S, \rho))，其中 (\rho) 是 (S) 上的偏序。通常用符号“(\leqslant)” 或类似符号表示偏序，且用 (x \leqslant y) 代替 ((x, y) \in \leqslant)。若关系 (\rho) 是自反的和传递的，则称 (\rho) 是预序，偏序是具有反对称性的预序。
• 示例
  • 设 (T) 是一个集合，(T