图灵的猫的博客

I-PINN 的均方根误差精度，比传统 PINN 和 XPINN 至少高两个数量级，而计算成本大约是传统 PINN 的十分之一，XPINN 成本的一半。此外，虽然 I-PINN 和 M-PINN 提供相当的准确性，但发现 M-PINN 的成本大约高出 50%。

在科学计算领域，求解偏微分方程（PDEs）一直是一个核心问题。近年来，物理信息神经网络（PINNs）及其变体为解决此类问题提供了新的途径。本文将详细介绍如何利用守恒物理信息神经网络（cPINN）求解特定的界面问题，并结合 Pytorch 代码实现深入探讨其原理与应用。

本文展示了结合傅立叶神经网络和物理信息神经网络求解泊松方程的完整实现。实验结果表明，这种方法能够高效地捕获解的频谱信息，并在约束条件下提供高精度的解。未来可以尝试将其应用于更高维度的偏微分方程或更复杂的物理问题。

在当今的科学与工程领域，神经网络在处理各种复杂问题时发挥着日益重要的作用。然而，其在实际应用中的精度问题一直是研究的焦点。今天，我们将深入探讨一篇关于多阶段神经网络（MSNN）的研究论文，该论文提出了一种创新的方法来提升神经网络在回归任务中的精度，使其能够达到接近机器精度的水平。

本文采用 Haar 小波方法求解 Burgers 方程，这是流体力学中用于描述粘性流体行为的重要偏微分方程。通过构造 Haar 小波基函数的近似解，我们展示了数值模拟的具体过程，并给出了数值结果，以便深入理解这种方法的精确性和有效性。

在科学和工程领域，我们经常遇到各种微分方程，它们在描述物理现象和自然规律中扮演着重要角色。特别是那些具有奇异性的初值问题，由于其解在某些点上可能不连续或无限大，使得求解变得更加困难。本文将介绍如何利用Haar小波及其积分操作矩阵来求解这类奇异初值问题。

本文介绍了如何通过物理信息神经网络（PINN）求解经典的 Burgers 方程，详细讲解了网络结构、损失函数设计、训练过程以及可视化解的步骤。PINN 是一种强大的工具，能够将物理方程与神经网络相结合，用于求解复杂的偏微分方程。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

在前面的例子中，我们介绍了如何通过有限体积法（FVM）求解一维稳态扩散问题。在本博客中，我们将进一步应用FVM，求解一个二维稳态导热问题。具体地，我们将对一块受热平板的温度分布进行分析，并使用MATLAB进行数值计算和可视化展示。

本文通过详细解析一维稳态导热问题的有限体积法求解过程，结合一维稳态扩散问题展示了从问题描述到离散化再到数值求解的完整流程。通过该案例，读者可以更深入地理解有限体积法的基本原理和应用场景，为进一步的数值计算研究奠定基础。

《谱方法学习笔记》深入介绍了傅立叶谱方法在解决偏微分方程问题中的理论和实践，提供了清晰的步骤、Matlab代码以及对一维、二维波动方程等不同问题的解析，适合对谱方法感兴趣的学习者。

《谱方法学习笔记》深入介绍了傅立叶谱方法在解决偏微分方程问题中的理论和实践，提供了清晰的步骤、Matlab代码以及对一维、二维波动方程等不同问题的解析，适合对谱方法感兴趣的学习者。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

本章介绍的求解偏微分方程（组）的方法都包含着周期性边界条件, 尽管周期性边界条件不属于数学物理方法中常见的传统三类边界条件, 但它并不脱离实际。某些科学问题的研究重点不受边界的影响, 如孤子之间的相互作用 (非线性薛定谔方程或 $\mathrm{KdV}$ 方程)、各向同性的均匀湍流问题等, 周期性边界条件就可以胜任。另外, 一些科学问题本身就具有时空周期性, 如晶格振动问题、能带理论或动物表皮图案的形成问题等。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

Caputo分数阶插值逼近在很多领域有广泛应用。本系列教程将带您一步步了解Caputo分数阶插值逼近的原理、方法和Matlab实现。通过本系列教程，您将掌握Caputo分数阶插值逼近的核心理论和实际应用，并能够运用Matlab软件进行实际操作，加深对这一技术的理解和掌握。

有限差分法 (finite difference method)是一种数值求解偏微分方程的方法，它将偏微分方程中的连续变量离散化为有限个点上的函数值，然后利用差分逼近导数，从而得到一个差分方程组。通过求解差分方程组，可以得到原偏微分方程的数值解。在实际应用中，有限差分法通常与其他数值方法结合使用，如有限元法、边界元法、谱方法等。这些方法各有特点，可以针对不同的问题选择合适的方法求解。相关书籍众多。本专栏只介绍其简单的应用, 来帮助读者了解数值方法的发展过程。

有限差分法 (finite difference method)是一种数值求解偏微分方程的方法，它将偏微分方程中的连续变量离散化为有限个点上的函数值，然后利用差分逼近导数，从而得到一个差分方程组。通过求解差分方程组，可以得到原偏微分方程的数值解。在实际应用中，有限差分法通常与其他数值方法结合使用，如有限元法、边界元法、谱方法等。这些方法各有特点，可以针对不同的问题选择合适的方法求解。相关书籍众多。本专栏只介绍其简单的应用, 来帮助读者了解数值方法的发展过程。

有限差分法 (finite difference method)是一种数值求解偏微分方程的方法，它将偏微分方程中的连续变量离散化为有限个点上的函数值，然后利用差分逼近导数，从而得到一个差分方程组。通过求解差分方程组，可以得到原偏微分方程的数值解。在实际应用中，有限差分法通常与其他数值方法结合使用，如有限元法、边界元法、谱方法等。这些方法各有特点，可以针对不同的问题选择合适的方法求解。相关书籍众多。本专栏只介绍其简单的应用, 来帮助读者了解数值方法的发展过程。

有限差分法 (finite difference method)是一种数值求解偏微分方程的方法，它将偏微分方程中的连续变量离散化为有限个点上的函数值，然后利用差分逼近导数，从而得到一个差分方程组。通过求解差分方程组，可以得到原偏微分方程的数值解。在实际应用中，有限差分法通常与其他数值方法结合使用，如有限元法、边界元法、谱方法等。这些方法各有特点，可以针对不同的问题选择合适的方法求解。相关书籍众多。本专栏只介绍其简单的应用, 来帮助读者了解数值方法的发展过程。

简单介绍辛几何和辛代数的基础上, 介绍相空间、Hamilton 系统及其两类辛格式: 线性 Hamilton 系统的中心 Euler 格式和一般的辛 Runge-Kutta 方法.

简单介绍辛几何和辛代数的基础上, 介绍相空间、Hamilton 系统及其两类辛格式: 线性 Hamilton 系统的中心 Euler 格式和一般的辛 Runge-Kutta 方法.

简单介绍辛几何和辛代数的基础上, 介绍相空间、Hamilton 系统及其两类辛格式: 线性 Hamilton 系统的中心 Euler 格式和一般的辛 Runge-Kutta 方法.

简单介绍辛几何和辛代数的基础上, 介绍相空间、Hamilton 系统及其两类辛格式: 线性 Hamilton 系统的中心 Euler 格式和一般的辛 Runge-Kutta 方法.

通过最基本、简单的微分问题一一初值问题（initial value problem）和边值问题 (boundary value problem) 的数值解法, 引入欧拉法、改进的欧拉法、龙格一库塔法等方法 的基本思想和内在关系, 给出代码的实现并予以说明。此外还介绍了局部截断误差、刚性等基本概念, 为后续求解更复杂的微分问题做铺垫。

通过最基本、简单的微分问题一一初值问题（initial value problem）和边值问题 (boundary value problem) 的数值解法, 引入欧拉法、改进的欧拉法、龙格一库塔法等方法 的基本思想和内在关系, 给出代码的实现并予以说明。此外还介绍了局部截断误差、刚性等基本概念, 为后续求解更复杂的微分问题做铺垫。

通过最基本、简单的微分问题一一初值问题（initial value problem）和边值问题 (boundary value problem) 的数值解法, 引入欧拉法、改进的欧拉法、龙格一库塔法等方法 的基本思想和内在关系, 给出代码的实现并予以说明。此外还介绍了局部截断误差、刚性等基本概念, 为后续求解更复杂的微分问题做铺垫。

通过最基本、简单的微分问题——初值问题（initial value problem）和边值问题 (boundary value problem) 的数值解法, 引入欧拉法、改进的欧拉法、龙格一库塔法等方法的基本思想和内在关系, 给出代码的实现并予以说明。此外还介绍了局部截断误差、刚性、Hamilton系统等基本概念, 为后续章节中求解更复杂的微分问题做铺垫。