15、数值问题求解：从函数极值到微分方程

数值问题求解：从函数极值到微分方程

在科学和工程领域，我们常常需要解决各种数值问题，如寻找函数的极值、近似导数、进行数值积分、计算离散傅里叶变换以及求解常微分方程等。下面将详细介绍这些数值问题的求解方法和相关代码示例。

1. 函数的极值求解

有时候，我们更关注函数的最小值或最大值，而非零点。例如，工程师可能会定义一个估算产品成本的函数，找到该函数的最小值有助于设计出成本最低的产品；反之，也可能希望最大化表示系统性能的函数。寻找函数的最小值和最大值是数值优化的一种形式。

1.1 单变量函数的极值求解

以下是使用 Sage 求解单变量函数极值的代码示例：

var('x')
f = lambda x: 3 * x^3 - 7 * x^2 + 2
minval, x_min = find_minimum_on_interval(f, 0, 3)
print("Min on interval [0,3]: f({0}) = {1}".format(x_min, minval))
maxval, x_max = find_maximum_on_interval(f, -1, 1)
print("Max on interval [-1,1]: f({0}) = {1}".format(x_max, maxval))
f_plot = plot(f, (x, -1, 2.5))
min_point = point((x_min, minval), color='red', size=50)
max_point = point((x_max, maxval), color='black', s