39、超越传统界限：高频跟踪与金融套期保值技术揭秘

超越传统界限：高频跟踪与金融套期保值技术揭秘

1. 高频跟踪问题提出

在信号处理和控制领域，传统跟踪方法存在物理限制，难以有效应对一些干扰。然而，通过采用合适的模拟模型和多速率技术，有望在低采样率下实现（次）最优跟踪与干扰抑制，这为数字控制系统带来了新的范例。

1.1 高频跟踪定义

考虑一个采样反馈系统，由线性时不变连续时间植物 (P(s)) 和离散时间线性时不变控制器 (K(z)) 组成。当参考输入为 (sin ωt)（(ω > π/h)）时，设计离散时间控制器 (K(z)) 使输出 (y(t)) 近似跟踪延迟参考 (r(t - L) = sin ω(t - L))（(L ≥ 0)），这种跟踪超越了奈奎斯特频率限制的信号的目标被称为超跟踪。

1.2 系统模型与问题描述

• 系统模型 ：系统经过采样周期 (h) 采样后，误差 (e) 进一步以因子 (M) 进行上采样。上采样器 (↑M) 在每个采样间隔插入 (M - 1) 个零，零阶保持器 (H_{h/M}) 在 (h/M) 周期内保持输出恒定。
• 问题描述 ：目标是解决超跟踪问题，即跟踪超出奈奎斯特频率的信号，这超出了普通跟踪的极限。

1.3 解决思路

为了推导解决方案，首先对系统进行提升以获得离散时间模型，表征其不变零点，然后计算传输零方向，这些方向决定了采样间跟踪性能。通过这个过程可以将问题转化为 (H_∞) 采样数据控制问题，从而得到期望的解决方案。

2. 提升多速率系统