58、优化 MAX - SPA - P 近似界限与生成树拥塞问题研究

优化 MAX - SPA - P 近似界限与生成树拥塞问题研究

1. MAX - SPA - P 问题研究

MAX - SPA - P 问题在匹配算法领域有着重要的研究价值。

1.1 spa - p - approx - promotion 算法的近似性

通过引理 5 和 6 可直接得出，spa - p - approx - promotion 是 MAX - SPA - P 的一个 1.5 近似算法。为了验证分析的近似比的紧性，给出如下实例：有三名学生 (s_1)、(s_2)、(s_3) 和一名讲师 (\ell_1)，讲师提供三个项目 (p_1)、(p_2)、(p_3)，各项目容量 (c_1 = c_2 = c_3 = 1)，学生和讲师的偏好如下：
|学生/讲师|偏好列表|
| ---- | ---- |
| (s_1) | (p_1) |
| (s_2) | (p_1) (p_2) |
| (s_3) | (p_2) (p_3) |
| (\ell_1) | (p_3) (p_2) (p_1) |

其中匹配 ({(s_1, p_1), (s_2, p_2), (s_3, p_3)}) 是大小为 3 的稳定匹配，但 spa - p - approx - promotion 算法执行后得到大小为 2 的稳定匹配 ({(s_2, p_1), (s_3, p_2)})，具体执行步骤如下：
1. (s_1) 申请 (p_1) 并被接受。
2. (s_3) 申请 (p_2) 并被接受。
3. (s_2) 申请 (p_1) 被拒绝。
4. (s_2) 申请 (p_2)