19、组播拥塞问题近似算法的实现

组播拥塞问题近似算法的实现

1. 引言

在通信网络中，组播拥塞问题是一个重要的研究领域。通信网络可以用无向图 $G = (V, E)$ 表示，其中 $|V| = n$ 为顶点数，$|E| = m$ 为边数，每个顶点代表一个处理器，能够接收、复制和发送数据包。组播请求是顶点集合 $S \subseteq V$（称为终端），需要生成一个子树 $T$ 来连接这些终端，使得它们能同时从源接收相同数据包的副本，这个子树称为 $S$-树。

在组播拥塞问题中，给定图 $G$ 和一组组播请求 $S_1, \ldots, S_k \subseteq V$，可行解是一组 $k$ 棵树 $T_1, \ldots, T_k$，其中 $T_q$ 连接 $S_q$ 中的终端，称为 $S_q$-树。边的拥塞是使用该边的 $S_q$-树的数量，问题的目标是找到一组 $S_q$-树，使得最大边拥塞最小。

如果每个请求仅包含两个终端，组播拥塞问题就简化为寻找最小拥塞积分路径的标准路由问题，这是一个 NP 难问题，因此组播拥塞问题也是 NP 难的。

另一个相关问题是图中的 Steiner 树问题，给定图 $G = (V, E)$、终端集合 $S \subseteq V$ 和边的非负长度函数，Steiner 树 $T$ 是跨越 $S$ 中所有顶点的子树，目标是找到总边长度最小的 Steiner 树。Steiner 树问题也是 APX 难的，即不存在多项式时间近似算法能达到小于某个常数 $\overline{c}$ 的近似比，除非 $P = NP$，已知的最好下界 $\overline{c} = 96/95 \approx 1.0105$。

由于组播拥塞问题是 NP 难的，因此人们