31、Π0₁集合与平铺问题的深入探究

Π0₁集合与平铺问题的深入探究

1. 引言

Wang瓷砖由Wang引入，用于研究一阶逻辑的片段。判定一个瓷砖集能否用给定的瓷砖在原点平铺平面（即原点约束多米诺问题），以及在一般情况下能否平铺平面，分别被Wang和Berger证明是不可判定的。Myers在1974年率先研究了给定瓷砖集平铺的递归复杂性，给出了一个没有递归平铺的瓷砖集。后来，Durand、Levin和Shen展示了如何构建一个所有平铺都具有高Kolmogorov复杂度的瓷砖集。

Π0₁集是{0, 1}ⁿ的有效闭子集，等价于给定图灵机停机的神谕集。它在计算机科学和递归数学的多个领域自然出现。瓷砖集的平铺集是Π0₁集，这带来了一些结果，例如每个非空瓷砖集都包含一个非图灵困难的平铺。主要问题是瓷砖集的平铺集与Π0₁集有何不同。Simpson证明了对于每个Π0₁集S，存在一个瓷砖集，其平铺集与S具有相同的Medvedev度。而我们关注的是更强的结果：能否为每个Π0₁集S找到一个瓷砖集，使其平铺集具有与S相同的图灵度。

2. 预备知识

2.1 Π0₁集合与度

• Π0₁集P ⊆ {0, 1}ⁿ：存在一个图灵机，以x ∈ {0, 1}ⁿ为神谕时，当且仅当x ∉ P时停机。等价地，若存在递归集L，使得w的任何前缀都不在L中时w ∈ S，则S ⊆ {0, 1}ⁿ是Π0₁集。
• 递归同胚：若存在双射递归函数f : S → S′，则称两个集合S和S′是递归同胚的。
• 孤立点：集合S ⊆ {0, 1}ⁿ中的点x是孤立的，如果它有一个前缀是S中其他点所没有的。
• 康托 - 本迪克松导数和秩：