31、Π0₁集合与平铺问题的研究

Π0₁集合与平铺问题的研究

1. 引言

Wang 瓷砖由 Wang 引入，用于研究一阶逻辑的片段。判断一个瓷砖集能否用给定瓷砖在原点平铺平面（即原点约束多米诺问题），以及在一般情况下判断瓷砖集能否平铺平面，都已被证明是不可判定的。

在递归理论的框架下，研究给定瓷砖集的平铺复杂性是一个重要问题。1974 年，Myers 基于 Hanf 的工作，给出了一个没有递归平铺的瓷砖集。40 年后，Durand、Levin 和 Shen 展示了如何构建一个所有平铺都具有高 Kolmogorov 复杂度的瓷砖集。

Π0₁集是{0, 1}ᴺ的有效闭子集，等价于给定图灵机停机的神谕集。它在计算机科学和递归数学的各个领域自然出现。瓷砖集的平铺集是一个 Π0₁集（通过将 Qℤ²递归编码到{0, 1}ᴺ），这带来了一些有趣的结果，例如每个非空瓷砖集都包含一个非图灵困难的平铺。

主要问题是瓷砖集的平铺集与 Π0₁集有多大差异。在一维符号动力学的背景下，Cenzer 等人给出了一些答案。Simpson 得到了一个重要结果：对于每个 Π0₁集 S，存在一个瓷砖集，其平铺集与 S 具有相同的 Medvedev 度。而我们关注的是更强的结果：能否为每个 Π0₁集 S 找到一个瓷砖集，使其平铺集具有与 S 相同的图灵度。我们证明了，如果 S 包含一个递归点，这个结论是成立的。

2. 预备知识

2.1 Π0₁集与度

• Π0₁集定义 ：Π0₁集 P ⊆ {0, 1}ᴺ是指存在一个图灵机，以 x ∈ {0, 1}ᴺ为神谕时，当且仅当 x ∉ P 时停机。等价地，如果存在一个递归集 L，使