12、特殊 Π₀¹ 集合类中的伪跳跃反转

特殊 Π₀¹ 集合类中的伪跳跃反转

1. 伪跳跃反转相关基础

在集合论的研究中，对于特殊的 Π₀¹ 集合类，伪跳跃反转是一个重要的概念。通过 {0, 1}^N 的紧致性可知，交集 ⋂ₙ₌₀^∞ Qₙ 非空，设 B 为该交集中的一个元素。

1.1 j(n) 的递归求解

假设已知 j(n - 1)，有如下情况：
- 阶段 n = 2m + 1 ：j(n) 可在 0′ 中递归找到（用于检查 Pⱼ₍ₙ₋₁₎ ∩ Pw(e,m) 是否非空，如同引理 3.6(b) 所述），或者在 Je(B) 中递归找到（用于检查 n ∉ Je(B)，进而判断 B 是否属于 Qₙ₋₁ ∩ Pw(e,m)，这等价于 Pⱼ₍ₙ₋₁₎ ∩ Pw(e,m) 非空）。
- 阶段 n = 2m + 2 ：j(n) 可在 B 中递归找到（找到唯一的 k 使得 B ∉ Ps(j(n - 1),k)），或者在 A 中递归找到。

这些观察以及其中描述的过程的一致性表明 j ≤T A, B ⊕ 0′, Je(B)。

1.2 其他观察

还有以下额外的观察结果：
- A ≤T j，因为 A(m) = i 当且仅当 j(2m + 2) = s(j(2m + 1), i)。
- Je(B) ≤T j，因为 m ∈ Je(X) 当且仅当 j(2m + 1) = j(2m)。
- B ⊕ 0′ ≤T j，因为 0′ ≤T A ≤T j 且 B ≤T Je(B) ≤T j。

综合这些观察可得 j ≡T A ≡T Je(B) ≡T B