30、左递归可枚举集相关性质及构造研究

左递归可枚举集相关性质及构造研究

在集合论和递归论的研究中，左递归可枚举集（left-r.e. sets）及其相关性质是重要的研究对象。本文将深入探讨集合的内聚性、升闭左递归可枚举集的性质以及弱1-泛型左递归可枚举集的构造等内容。

1. 集合内聚性的证明及相关矛盾推导

首先，我们来证明集合 (A) 的内聚性。考虑任意的 (d)、(e)、(k)，满足 (d < e) 且 (k \geq 0)。我们断言 (q_{d + 1}(x_e) \geq q_{d + 1}(x_{e + k}))。假设 (2^k c \leq q_{e + k}(I_{i_{e + k}}) \leq 2^k c + 2^k - 1)，那么在 (I_{i_{e + k}}) 中至少有 (2^i - 2^{i - e - k - 1} \cdot (2^k \cdot c + 2^k)) 个 (x) 满足 (q_{e + k}(x) \geq 2^k c)，进而有 (2^i - 2^{i - e - 1}(c + 1)) 个 (x) 满足 (q_e(x) \geq c)，所以 (q_e(I_{e + k}) \geq c)。
对于 (x_{e + k} \in H_{e + k}) 和 (x_e \in H_e)，有 (q_{d + 1}(x_{e + k}) = \lfloor q_{e + k}(I_{e + k}) / 2^{k + e - d - 1} \rfloor < (c + 1)2^k / 2^{k + e - d - 1})，即 (q_{d + 1}(x_{e + k}) \leq c / 2^{e - d - 1})；而 (q_{d + 1}(x_e) = \lfloor q_e(I_e)