30、左递归可枚举集相关性质探讨

左递归可枚举集相关性质探讨

在数学领域，集合的研究一直是重要的课题。本文将深入探讨几种特殊集合的性质，包括凝聚集、升闭左递归可枚举集、弱1 - 通用集等，以及它们之间的关系。

凝聚集的证明与递归矛盾

首先，我们来证明集合 $A$ 是凝聚的。考虑任意的 $d$、$e$、$k$，满足 $d < e$ 且 $k \geq 0$。我们断言 $q_{d + 1}(x_e) \geq q_{d + 1}(x_{e + k})$。假设 $2^k c \leq q_{e + k}(I_{i_{e + k}}) \leq 2^k c + 2^k - 1$，通过一系列推导可以得出 $q_{d + 1}(x_{e + k}) \leq q_{d + 1}(x_e)$。由于 $A = {x_0, x_1, \cdots}$，对于所有的 $d$，除了有限个 $e$ 之外，$q_{d + 1}(x_e)$ 的值是相同的。由此可知，对于每个 $d$，$W_d(x_e)$ 对于几乎所有的 $e$ 都取相同的值，所以 $A$ 是凝聚的。

接着，考虑集合 $B$ 通过函数 $f$ 满足 $B \leq_m A$，其中对于所有的 $i$ 和 $x \in I_i$，$f(x) = \max(I_i) + \min(I_i) - x$，且 $f(x) = f^{-1}(x)$，这意味着 $f$ 也能证明 $A \leq_m B$。设 $(A_s) {s \in \mathbb{N}}$ 是 $A$ 的左递归可枚举近似，$(B_s) {s \in \mathbb{N}}$ 是 $B$ 的左递归可枚举近似。对于所有的 $e$ 和 $s$，有如下性质：如果 $A_s$ 的最小的 $e + 1$ 个